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课件网) 10.1.4 概率的基本性质 「学习目标」 1.通过具体实例抽象出概率的基本性质,培养数学抽象的核心素养. 2.通过概率性质及互斥事件和对立事件的概率公式的应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 概率的性质 一般地,概率有如下性质: 性质1:对任意的事件A,都有P(A) 0. 性质2:必然事件的概率为 ,不可能事件的概率为 ,即 P(Ω)= ,P( )= . 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= . 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)= P(A1)+P(A2)+…+P(Am). ≥ 1 0 1 0 P(A)+P(B) 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= . 性质5:如果A B,那么P(A) P(B). 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有 P(A∪B)= . 1-P(A) 1-P(B) ≤ P(A)+P(B)-P(A∩B) 师生互动 合作探究 探究点一 概率的性质 [例1] 若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是( ) √ 方法总结 (1)求解与概率中的参数有关的问题,首先应明确概率的范围是P(A)∈[0,1],而对于多个含有相同参数的概率的问题,要同时满足这一条件. (2)由于本例中随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,因此概率范围是(0,1). [针对训练] 若随机事件A,B互斥,且B发生的概率不等于0,P(A)= 0.2,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 . [例2] 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中10环或9环的概率; 探究点二 互斥事件与对立事件概率公式的应用 解:“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的,可运用互斥事件的概率加法公式求解. 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为事件A,B,C,D,E,则 (1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)至少射中7环的概率; 解:(2)法一 P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+ 0.16=0.87,所以至少射中7环的概率为0.87. 法二 事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”,其概率为0.13,则至少射中7环的概率为1-0.13=0.87. (3)射中8环以下的概率. 解:(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,所以射中8环以下的概率为0.29. 方法总结 (1)应用互斥事件的概率加法公式的方法 ①将一个事件分拆为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果. ②运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重 不漏. ③常用步骤:a.确定各事件彼此互斥;b.求各个事件分别发生的概率;c.利用互斥事件的概率加法公式求出结果. (2)对于比较复杂事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解. [针对训练] 在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表: 年最高 水位(单 位:m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率: (1)[10,16); 解:记在某一时期内,该河流这一处的年最高水位(单位:m)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]分别为事件A,B,C, D,E,且彼此互斥. (1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)[8,12); 解:(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38. (3)[14,1 ... ...
