7.3复数的三角表示--自检定时练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 7.3*复数的三角表示--自检定时练--详解版 单选题 1．复数的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 2．的三角形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 3.复数化为代数形式为（ ） A． B．i C． D． 【答案】B 【分析】直接代入三角函数值即可运算求解. 【详解】. 故选：B. 4.已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【详解】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A 5.欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案. 【详解】，故. 故选：C 6.若（为虚数单位），则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】当时，， 当时，可以取，此时， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 多选题 7.设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，而，故， 故，故， 故BC正确，AD错误； 故选：BC. 8.已知复数，其在复平面内对应点，下列说法中正确的是（ ） A．复数的三角形式为 B．在复平面内将点绕坐标原点逆时针旋转后到达点，点所对应的复数 C．在复平面内将点绕坐标原点顺时针旋转后到达点，点所对应的复数为，则 D． 【答案】BD 【分析】根据题意，由复数的运算公式，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，设点对应的向量为，则绕坐标原点逆时针旋转后得到对应的复数为，则点对应的复数，故B正确； 对于C，设点对应的向量为，则绕坐标原点顺时针旋转后得到对应的复数为，则点对应的复数，故C错误； 对于D，由B，C可知，，故D正确； 故选：BD 填空题 9.已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 【答案】 【分析】根据复数的三角表示分析求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故答案为：. 10.设，且满足，则的辐角的主值的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据表示的几何意义即可得到主值的范围. 【详解】如图，表示的点在圆心为，半径为的圆内， 为向右平移一个单位长度得到的圆内的点，， 故的辐角的主值的取值范围是. 故答案为：. 解答题 11.将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. （2）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. 【详解】（1），所以， 对应的点在第一象限，所以， 所以． （2），所以， 对应的点在第四象限，所以，所以． 12.在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求 ... ...