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课件网) 3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质 1.掌握双曲线的简单几何性质，能根据性质画出双曲线图象； 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义，并能根据方程写出双曲线的渐近线和离心率； 3.能根据给出的已知条件求出双曲线的方程，并能求出相关性质. 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a
c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 问题1：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率 范围、对称性、顶点、离心率 探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线的具体边界（范围）是怎样的？ 双曲线上点的横坐标的范围是，或, 纵坐标的范围是 x y -a a O 追问：你可以从代数角度给予说明吗？ 由方程，可知 ∴，或. 说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. 探究2：类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性？ x y -a a O 双曲线关于轴、轴、原点都对称 追问：如何利用方程说明双曲线的对称性？ 设是双曲线 上的任一点，则关于轴的对称点为 结合双曲线方程可知，在椭圆上， 故双曲线关于轴对称，同理可得双曲线关于轴、原点对称 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 探究3：类比求椭圆顶点的方法，双曲线的顶点是什么？ 令，得 与轴有两交点 令，得 与轴无交点，， 顶点： 实轴： 线段，它的长等于叫做双曲线的实半轴长. 虚轴：线段，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长. 探究3：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，因为，试探究双曲线的离心率与椭圆的离心率的范围有什么不同？ ∵∴. 追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．离心率越大“张口”越大。 1：求出的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标，并试画出图像。 解：，，所以， 实轴长：；虚轴长：； 顶点：；焦点坐标 仅靠目前性质无法得出较精确的图像 追问：在函数时，我们是如何得到图像的？据此，你有什么启发吗？ ，即 当， 当时，的变化趋势与息息相关 探究4：利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线【即】逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 特别的，在双曲线方程中，实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 问题2：你能知道等轴双曲线有什么性质吗？ 方程变为，此时双曲线实轴和虚轴长都等于. 这时，四条直线，围成正方形， 渐近线方程：，互相垂直，且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 2：判断正误. (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.( ) (2)以为渐近线的双曲线有2条.( ) (3)双曲线的离心率(其中).( ) 【答案】√，×,×. 3：双曲线的离心率，则_____. 【答案】. 例3：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把双曲线的方程化为标准方程为. 由此可知，实半轴长虚半轴长 焦点坐标是；离心率； ... ... 