1.2.5 空间中的距离（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）选择性必修 第一册

1.2.5　空间中的距离 课标要求　1.理解点到平面的距离的概念. 2.能灵活运用向量方法求各种空间距离. 3.体会向量法在求空间距离中的作用. 1.思考　平面上点P到直线l之间的距离是如何定义的？两条平行直线l，m之间的距离是如何定义的？ _____ _____ _____ 2.填空　(1)空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长. 可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或可通过向量来求空间中两点之间的距离. (2)点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离.点到直线的距离公式 d＝， 其中P为直线上一点，为直线l的方向向量. (3)点到平面的距离 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离. 如图，A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝_____. (4)直线与平面、平面与平面之间的距离 ①当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离.如图，直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝_____. ②当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.与两个平行平面同时_____的直线，称为这两个平面的_____.公垂线夹在平行平面间的部分称为这两个平面的公垂线段.公垂线段的长即为两个平行平面之间的距离.如图，平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝_____. 温馨提示　(1)一般地，距离都具有最小性. (2)直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离都可以归结为点到平面的距离. 3.做一做　(1)已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为_____. (2)若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是_____. 题型一　求两点间的距离 例1 如图，正方形ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上.若CM＝BN＝，求MN的长. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝＝求解. (2)用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时. 训练1 如图所示，在120°的二面角α －AB－β中，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　点到直线的距离 例2　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　用向量法求点到直线的距离 方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可. 方法二：计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影，利用勾股定理求点到直线的距离. 训练2 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　求点到平面的距离 例3 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ ... ...