上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期开学数学试卷（PDF版，含答案）

上海师范大学附属中学 2024-2025 学年高一下学期开学数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 3 5 1.已知△ 中， = ， = ，则 的值等于( ) 5 13 16 56 16 56 16 56 A. 或 B. C. D. 或 65 65 65 65 65 65 2.在等差数列{ }中，其前 项和是 ，若 15 > 0， 1 2 16 < 0，则在 ， ，…， 15中最大的是( ) 1 2 15 A. 1 B. 8 C. 9 D. 15 1 8 9 15 3.已知△ 是锐角三角形，下列结论一定不成立的是( ) + A. sin( + ) = B. sin = cos 2 2 C. < D. > 1 4.数列{ }满足 1 = 1， +1 + +1 = 0， 为常数，则下列说法中：①数列{ }可能是常数列； 1 ② = 1时，{ }为等差数列；③若 3 > 1，则 ∈ ( 1,0)；④当 > 0时，数列{ }递减，正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。 5.我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步 率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1 + 1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1 1%)365 看作是经过365天的“退步值”，则大约经过_____天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据： 101 ≈ 2.0043， 99 ≈ 1.9965)． 6.设等比数列{ }的前 项和为 .若 2 = 3， 4 = 15，则 6 =_____． √ 3 7.满足条件 = ， ∈ [0,2 )的角 的集合为_____． 2 8.设扇形的半径长为8 ，面积为4 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 9.已知 + = 1， + = 0，则sin( + ) = ． 10.设无穷等比数列{ }的公比为 ，若 1 = 3 + 4 + 5 + ，则 = _____． + + 11.在△ 中， = 60°， = 1，△ 的面积为√ 3，则 = _____． + + 12.定义在 上的函数 ( )既是偶函数又是周期函数，若 ( )的最小正周期是 ，且当 ∈ [0, ]时， ( ) = ， 2 5 则 ( )的值为_____． 3 第 1 页，共 8 页 13.函数 ( ) = |sin( + )|( > 0)的部分图象如图所示，则 = ． 3 14.已知数列{ }的前 项和 2 = 2 12 ，数列{| |}的前 项和 ，则 的最小值_____． 15.在角 1、 2、 3、…、 30的终边上分别有一点 1、 2、 3、…、 30，如果点 的坐标为(sin(15° °), sin(75° + °))，1 ≤ ≤ 30， ∈ ，则 1 + 2 + 3 + + 30 = ． 16.设函数 = sin(2 + )(0 < < )的图像与直线 = 相交的连续的三个公共点从左到右依次记为 ， ， 2 ，若| | = 2| |，则正实数 的值为_____． 三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 在△ 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 .已知√ 3 = √ 3 + ． (1)求角 的大小； (2)当 = 2√ 2， = 2√ 3时，求边长 ． 18.(本小题12分) 设数列{ }的前 项和为 ，且2 3 = 0． (1)求数列{ }的通项公式； (2)若数列{ }满足 +1 = + ( ∈ )，且 1 = 2，求数列{ }的通项公式以及满足不等式 > 85的最 小正整数 的值． 19.(本小题12分) 如图，有一条宽为60 的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ )养殖观赏鱼， ⊥ ，顶点 到河两岸的距离 = 1， = 2， ， 两点分别在两岸 1， 2上， 设∠ = ． (1)若 = 30°，求养殖区域面积的最大值； (2)现拟沿着养殖区域△ 三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若 1 = 30 ，求观赏长廊总长 ( )的最小 值． 第 2 页，共 8 页 20.(本小题12分) 在平面直角坐标系 中，任意角 ， 的终边交单位圆(圆心在坐标原点 )于 ， 两点． 2√ 5 (1)若 ， 为锐角，且| | = ，求cos( )的值； 5 1 (2)若角 为锐角，且终边绕原点逆时针转过 后，终边交单位圆于 ( , )，求 的值； 6 3 (3)若 ， 两点的纵坐标分别为正数 ， ，且cos( ) ≤ 0，求 + 的最大值． 21.(本小题12分) 若函数 ( )平移 ... ...