2024-2025学年上海师大附中高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知中，，，则的值等于( ) A. 或 B. C. D. 或 2.在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是( ) A. B. C. D. 3.已知是锐角三角形，下列结论一定不成立的是( ) A. B. C. D. 4.数列满足，，为常数，则下列说法中：数列可能是常数列；时，为等差数列；若，则；当时，数列递减，正确的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.我们在语文课上学过劝学，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过天的“进步值”，看作是经过天的“退步值”，则大约经过_____天时，“进步值”大约是“退步值”的倍参考数据：，． 6.设等比数列的前项和为若，，则_____． 7.满足条件，的角的集合为_____． 8.设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 9.已知，，则 ． 10.设无穷等比数列的公比为，若，则 _____． 11.在中，，，的面积为，则 _____． 12.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为_____． 13.函数的部分图象如图所示，则 ． 14.已知数列的前项和，数列的前项和，则的最小值_____． 15.在角、、、、的终边上分别有一点、、、、，如果点的坐标为，，，则 ． 16.设函数的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为_____． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在中，设角、及所对边的边长分别为、及已知． 求角的大小； 当，时，求边长． 18.本小题分 设数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 若数列满足，且，求数列的通项公式以及满足不等式的最小正整数的值． 19.本小题分 如图，有一条宽为的笔直的河道假设河道足够长，规划在河道内围出一块直角三角形区域图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设． 若，求养殖区域面积的最大值； 现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊宽度忽略不计，若，求观赏长廊总长的最小值． 20.本小题分 在平面直角坐标系中，任意角，的终边交单位圆圆心在坐标原点于，两点． 若，为锐角，且，求的值； 若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； 若，两点的纵坐标分别为正数，，且，求的最大值． 21.本小题分 若函数平移个单位后可以成为偶函数，则称为“平移偶函数”． 求证：所有对称轴不为轴的抛物线均为“平移偶函数”； 若为“平移偶函数”，求：的最小值； 若是定义域为的奇函数，求：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：由正弦定理得， 由于， 则， 展开得，即， 因为， 化简得， 则， 又， 所以； 由正弦定理，得，即有， 因为， 所以是锐角，即， 所以， 由正弦定理可得， 所以． 18.解：当时，，可得， 当时，， 两式相减可得，即， 是首项为，公比为的等比数列， ； 由可得， 所以， ， ， ， ， 累加得， 因此， 也符合上式， ， 即，所以， 两边同时取对数可得， 即； 易知， 所以， 所以最小正整数的值为． 19.解：时，， 所以， 又因为当且仅当时等号成立， 所以， 于是， 因此，养殖区域面积的最大值为． 由题意，， 所以， 所以的周长， 其中． 设，则 所以． 所以， 于是当时，， 因此，观赏长廊总长的最小值为． 20.解：由题意知，， ，， ， ，． 由角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ，且，， ，， ， ． 若，两点的纵坐标分别为正数，，可得角和 ... ...
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