第5课时 正方形的性质与判定 课时学习目标 素养目标达成 1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系 抽象能力 2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实 起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 1.正方形的性质 (1)四个角都是 直角 ; (2)四条边都 相等 ; (3)对角线 相等 且 互相垂直平分 ,每一条对角线平分一组对角; (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是 (A) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 (2)如图,在正方形ABCD中, ①若对角线的长为2,则其面积为 4 . ②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是 67.5° . 2.正方形的判定 2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是 AB=AD(答案不唯一) (写出一个条件即可). 重点典例研析 学贵有方 进而有道 重点1正方形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材溯源·P26例2拓展·2023·黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P. (1)求证:△ABN≌△DAM; (2)求∠APM的大小. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°, ∵BM=CN, ∴BC-CN=AB-BM,即BN=AM, 在△ABN和△DAM中, ∴△ABN≌△DAM(SAS); (2)由(1)知△ABN≌△DAM, ∴∠MAP=∠ADM, ∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°, ∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°. 【举一反三】 1.如图,四边形ABCD是正方形,点E在AD上,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于点F,点G为垂足,下列选项中的结论,不正确的是 (C) A.AE=DF B.∠DFA=∠AEB C.AG=GF D.S△ABG=S四边形EGFD 2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF= 2 . 【技法点拨】 正方形性质应用的分析方法 已知条件 分析思路 已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90° 已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴 重点2正方形的判定(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P28T11拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°. (1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积. 【自主解答】(1)∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O, ∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF, ∵DE=BF,∴OE+DE=OF+BF, ∴BO=DO.又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形, ∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°, ∴AO=DO,∴AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形; (2)∵正方形ABCD的面积为72, ∴AC·BD=72, ∴×4BO2=72, ∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12, ∵BF=4,∴OF=2, ∵四边形AECF是菱形, ∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF, ∴S菱形AECF=AC·EF=24. 【举一反三】 1.下列说法正确的是 (A) A.对角线相等的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C.有一个角是直角的平行四边形是正方形 D.各边都相等的四边形是正方形 2.(2024·鼓楼区校级二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF. (1)求证:AB=AF; (2)当△ABC满足 时,四边形ACDF为正方形. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFG=∠GCD, ∵点G是AD的中点,∴AG=DG, 在△AGF和△DGC中,, ∴△AGF≌△DGC(AAS), ∴AF=CD,∴AB=AF; (2)当AB=AC, ... ...
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