3.2 培优点 与二项式定理有关的重要题型（课件+学案，共2份）人教B版（2019）选择性必修 第二册

培优点　与二项式定理有关的重要题型 1.赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝，令x＝0，可得a0＝f(0). 2.两个二项式之积与三项式的展开式问题 (1)形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题 ①若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解. ②利用二项式展开式的展开原理综合考虑. (2)形如(a＋b＋c)n的展开式问题 求(a＋b＋c)n的某项，关键是将其看作一个二项式，然后求解，再将通项中的二项式展开求解，合并同类项再求解即可，或可利用展开式的原理求解. 类型一　二项式系数的和或各项系数的和的问题 例1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)a1＋a3＋a5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型二　两个二项式之积的展开式问题 例2 (1)若(x＋a)2的展开式中常数项为－1，则a的值为(　　) A.1 B.8 C.－1或－9 D.1或9 (2)在(2x＋1)(x－1)5的展开式中含x3项的系数是_____.(用数字作答) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型三　三项式的展开式问题 例3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　 ) A.10 B.20 C.30 D.60 (2)的展开式中的常数项为(　　) A.－1 B.1 C.－47 D.49 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优点　与二项式定理有关的重要题型 例1　解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35. ∴a1＋a3＋a5＝＝－121. 例2　(1)D　(2)－10　[(1)∵(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2， 展开式的通项为 Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5， ∴(x＋a)2展开式的常数项为 －C＋2aC－a2， ∴－C＋2aC－a2＝－1， 解得a＝1或9. (2)易得二项式的展开式 ... ...