2024-2025学年河北省衡水市阜城实验中学高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，直线：，：，若，则的值为( ) A. B. C. D. 或 2.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则 若，，且，则；若，，且，则； 若，，且，则；若，，且，则； 其中真命题的个数是( ) A. B. C. D. 3.与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 4.已知等比数列的公比为整数，且，，则( ) A. B. C. D. 5.双曲线：的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6.直线：始终平分圆：，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.圆：与圆：的公共弦的弦长等于( ) A. B. C. D. 8.已知数列，满足，，则数列的前项和( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是( ) A. 当且时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 10.已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是( ) A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 11.点在圆上，点在圆上，则( ) A. 圆与圆有条公切线 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数列满足，则 ． 13.等比数列的各项均为正数，且，则 _____． 14.直三棱柱中，，，是中点，则与所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知公比不为的等比数列满足，且，，是等差数列的前三项． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ求数列的前项和． 16.本小题分 已知数列的前项和为，且，． 求数列的通项公式； 求数列的前项和为． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点． 证明：平面平面． 若，求二面角的余弦值． 18.本小题分 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，求数列前项和为； 设，求数列的前项和． 19.本小题分 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ若直线：与椭圆交于不同的两点，不与左、右顶点重合，且求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ已知公比不为的等比数列满足，且，，是等差数列的前三项， 设公比为， 则， 又， 则， 则； Ⅱ由Ⅰ可得，， 则等差数列的首项为，公差为， 则， 则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列的前项和为． 16.解：由，得， 当时，有，解得或舍去， 当时，有， 得：， 即，， 又，，可得，即， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， ； 由得， 则， ． 17.证明：因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面且相交于，， 所以平面，又平面，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，故D，， 所以， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 由题意可知是平面的一个法向量， 所以， 故二面角的余弦值为． 18.解：根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； 由， 可得； ， ， ，， 得 ， ． 19.解：Ⅰ椭圆的方程为，其右顶点，离心率， ，， ，， 椭圆的方程为； Ⅱ直线：代入椭圆方程，消去，得 由题意： 整理得： 设、， 则， 由已知，，且椭圆的右顶点为 即 也即 整理得： 解得：或，均满足 当时，直线的方程为，过定点，舍去 当，时，直线的方程为，过定点， ... ...
