2024-2025学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数则( ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3.设函数是定义在上的周期为的偶函数，当时，，则( ) A. B. C. D. 4.已知，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为为常数，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为( ) A. B. C. D. 7.函数在上的图象大致为( ) A. B. C. D. 8.已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，则( ) A. B. C. D. 10.下列关于函数的说法正确的是( ) A. 的图象关于原点对称 B. 是增函数 C. 的最大值是 D. 若，则方程有四个不等实数根 11.质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为；的角速度大小为，起点为，则当与重合时，的坐标可能为( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，且，则的最小值为_____． 13.一个扇形的弧长与面积的数值都是，这个扇形圆心角的弧度数是_____． 14.已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 计算：； 已知，求的值； 已知角的终边过点，求的值． 16.本小题分 已知函数． 求的最小正周期； 求在区间上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时的值． 17.本小题分 近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速某公司自年起，每年统计其芯片的年销售数量将年记为第年，统计数据如表所示： 年份 时间年 年销售数量万片 在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； 为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： 根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； 根据中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过万片？参考数据：， 18.本小题分 已知函数为奇函数． 求实数的值； 判断的单调性，并证明你的结论； 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 定义域为集合的函数，若存在，使关于的方程有解，则不妨称在“处”可拆，且称方程的解为的“可拆点”． 若，求的“可拆点”； 证明：对任意，在“处”可拆； 是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个“可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：：； ， ， ； 角的终边过点， ． 16.解：函数， 故的最小正周期； ， 则， 当，即时，取到最大值， 当，即时，取到最小值． 17.作图如下： 选择模型，理由如下： 根据表格数据，下一年比上一年增长约，再结合函数图像，符合指数增长模型； 将点，代入模型，有，解得，故． 解不等式， 即， 取对数有：， 取因为整数， 对应年份为． 验证：时，万片未超过；时，万片超过． 故该公司芯片的年销售数量在年会首次超过万片． 18.解：由题意：是定义域为的奇函数， ， 即， ， 当时，， ， 故满足题意； 是上的增函数， 证明如下： 设，且， 则， 由，可得，，则，， 则， 即， 则是上的增函数． 因为对任意 ... ...
