4.2.4 随机变量的数字特征（课件+学案+练习，共6份）人教B版（2019）选择性必修 第二册

第二课时　离散型随机变量的方差 课标要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义. 2.能计算简单随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质，会利用性质求方差. 1.思考　从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表 甲 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 乙 X 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.填空　(1)离散型随机变量的方差、标准差 ①离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn X的均值为E(X)，则 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝_____，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. ②一般地，_____称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). (2)两点分布与二项分布的方差 X X服从两点分布 X～B(n，p) D(X) _____(其中p为成功概率) _____ (3)方差的性质 设a，b为常数(a≠0)，则D(aX＋b)＝_____，D(c)＝0(其中c为常数). 温馨提示　(1)离散型随机变量方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同. (3)方差的变形公式： D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝xpi－[E(X)]2. 3.做一做　判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(　　) (2)若a是常数，则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.(　　) (4)离散型随机变量的方差与标准差的单位相同.(　　) 题型一　求随机变量的方差与标准差 例1 已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X). 训练1 已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求方差及标准差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...