第三周 双曲线 ———2025届高考考前每周拔高练 【答题技巧】 1.求解与双曲线性质有关的范围（或最值）问题的方法 （1）几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解. （2）代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解. （3）不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解. 2.解决与双曲线性质有关的范围（或最值）问题时的注意点 （1）双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a（实轴长）； （2）由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解； （3）所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响. 【练习应用】 1.已知双曲线的左右焦点分别为，，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率e为( ) A. B. C. D. 2.若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则点P的纵坐标为( ) A.1 B.2 C. D. 4.已知双曲线的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数( ) A. B.2 C. D.4 5.直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线右支上的一个动点，则的最小值为( ) A. B.1 C.2 D.0 6.设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作平行于双曲线C的一条渐近线的直线l交双曲线C于点P，若，则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D.3 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径作圆O，交C的左支于点P，连接，过作，交C的右支于点Q（P，Q在x轴同侧），直线与C的右支有两个不同的交点，若是等腰三角形，则实数k的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.双曲线的左、右焦点分别为，，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.4 C.5 D.6 9.（多选）已知平面上两点和，若直线上存在点P使，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，.M为双曲线E上异于A，B的点，且MA，MB与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为N，则下列结论正确的是( ) A.双曲线E的离心率为 B.双曲线E的渐近线方程是 C.直线MA与MB的斜率之积为4 D.若，则的面积为4 11.已知P，Q分别为双曲线右支与渐近线上的动点，F为左焦点，则的最小值为_____. 12.设双曲线的右顶点为F，且F是抛物线的焦点.过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_____. 13.已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线上且在x轴上方，若线段PF的中点在以O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率为_____. 14.已知双曲线（，）实轴端点分别为，，右焦点为F，离心率为2，过点且斜率为1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知的面积为. （1）求双曲线C的方程. （2）若过F的直线与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 15.在平面直角坐标系中，点在双曲线（，）上，渐近线方程为. （1）求双曲线C的方程； （2）过点作直线l与双曲线C交于A，B两点，在x轴上是否存在一定点Q，使得直线QA与QB的斜率之和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 答案 ... ...
