3.2.1 双曲线及其标准方程 教案（2份打包）

3.2.1 双曲线及其标准方程（第一课时） (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章) 一、教学目标 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； 2．掌握根据条件求双曲线方程的基本方法； 3．用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题． 二、教学重难点 1．重点：双曲线方程的理解和根据条件求双曲线方程的基本方法． 2．难点：根据条件求双曲线方程的基本方法． 三、教学过程 1．双曲线的标准方程的建立 1.1概念引入 前面我们介绍了圆锥曲线的形成，并在平面直角坐标系中研究了椭圆及其标准方程．本节课我们将学习第二种圆锥曲线———双曲线．双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线．如广州电视塔“小蛮腰”的轮廓就是双曲线的一部分绕轴旋转所成的曲面．那么，什么是双曲线呢？我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题． 问题1：椭圆的定义是什么，它的标准方程是怎样的？ 【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调求曲线方程的步骤以及方程中a、b、c间的关系． 【设计意图】通过对椭圆及其标准方程的复习，帮助学生回顾椭圆研究的过程，为研究双曲线及其标准方程做准备． 问题2：既然平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆，那么一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 【活动预设】借助信息技术手段，探究在直线l上取两个定点A、B，P是直线l上的动点．在平面内取两个定点F1F2，以F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以F2为圆心，线段PB为半径作圆，探究点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹；点P在线段AB外运动时，两圆交点的轨迹． 【设计意图】通过强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念． 1.2概念的理解 问题3：遵循解析几何研究的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立双曲线的标准方程．你能类比求椭圆标准方程的过程，尝试建立双曲线的方程？ 【活动预设】通过生生讨论，明确如何建立适当的直角坐标系．观察双曲线发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，因此，我们取经过两焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，即对应着等量关系，坐标化得到方程． 追问：对于方程如何？ 【活动预设】学生尝试化简．需先去绝对值，化成 类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方，整理得 平方整理得 从简化、美化入手，继续优化方程． 问题4：讨论以上方程的变形是不是同解变形？类似于椭圆，能不能给出结构简单且优美的方程呢？ 【活动预设】明确方程与所给双曲线是等价的，是双曲线的方程，并且称为双曲线的标准方程．感悟方程蕴含的简洁美、对称美，感悟“数”与“形”内在的一致性． 【设计意图】明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；引导学生学会建立适当的直角坐标系；以双曲线标准方程的推导为载体，引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法；深化学生对曲线与方程的关系的理解． 2．初步应用，熟悉方程 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1（–5,0），F2（5,0），双曲线上一点P与F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 【活动预设】根据焦点位置设双曲线标准方程，且c=5， a=3，求出b． 【设计意图】巩固双曲线及其标准方程的概念． 例2 已知A，B两地相距800cm，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 【设计意图】本例题是一道实际应用题，指导学生抽象出数学问题，建立适当的直角坐标系进行求解． 3．归纳小结，理论升华 【设计意图】（1）梳理本节课对于双曲线的定义与其标准方程的认知； （2）通过思维导图，使得学生宏观把握双曲 ... ...