6.4 课时3 余弦定理 【学习目标】 1.会利用向量法推导余弦定理并掌握余弦定理的两种表示形式.(逻辑推理) 2.能利用余弦定理解决基本的解三角形问题.(数学运算) 3.能运用余弦定理解决有关三角形的等式证明及三角形的形状判断等问题.(逻辑推理) 【自主预习】 1.用文字语言叙述余弦定理. 2.用符号语言叙述余弦定理. (1)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一. ( ) (2)在△ABC中,随便给出三边一角中的三个,可求其余一个. ( ) (3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角. ( ) (4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角. ( ) 2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c= ( ). A. B.8 C.10 D.7 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b=( ). A. B. C.2 D.3 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则cos C= . 【合作探究】 余弦定理 问题1:在初中数学学习中,判定三角形全等的方法有哪些 问题2:给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的吗 为什么 你能用数学知识解释一下吗 问题3:已知三角形ABC的两边a,b及它们的夹角C,如何求第三边c 问题4:余弦定理的适用范围、结构特征是什么 余弦定理 (1)公式表达:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. (2)语言叙述:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=4,若D为BC边的中点,求AD的最大值. 【方法总结】余弦定理是由向量推导出来的,它是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中,边与角的一种数量关系.涉及中线的问题,既可以用余弦定理解决,也可以用向量解决. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,c=2,则中线AD的长为( ). A. B. C. D. 利用余弦定理解三角形 问题1:应用余弦定理,我们是否可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题 如何确定 问题2:已知三角形的三个角和三条边中的哪几个元素,我们可以利用余弦定理解这个三角形 1.余弦定理的推论:cos A=,cos B=,cos C=. 2.解三角形 一般地,三角形的 和它们的 叫作三角形的元素. 已知三角形的几个元素求 的过程叫作解三角形. 一、已知两边及一角解三角形 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A,角C和边a. 【方法总结】已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边. (原创)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,c=2.若tan B=-2,则b= . 二、已知三边解三角形 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角的大小. 【方法总结】已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求出三个角. 在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求最小角的大小. 利用余弦定理判断三角形形状 问题1:在△ABC中,若c2=a2+b2,则C=成立吗 反之,若C=,则c2=a2+b2成立吗 为什么 (利用余弦定理说明) 问题2:在△ABC中,cos C>0,能判断这个三角形是锐角三角形吗 判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2. (2)△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2. (3)△ABC为钝角三角形 a2+b2
