8.3 课时3 球的表面积和体积 【学习目标】 1.了解球的表面积与体积公式,并能利用它们求球的表面积及体积.(数学运算) 2.会求简单组合体的表面积与体积.(数学运算) 【自主预习】 1.硬币在桌面上快速旋转,我们看到的图形是什么 2.从旋转的角度来分析,硬币围绕着它垂直于桌面的直径所在的直线旋转一周所形成的轨迹是什么 它的区域大小与哪个量有关 3.如何用球的半径来表示球的体积和表面积 4.若要加大球体的体积,则球体的半径会发生什么变化 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)球的体积是一个关于球的半径的函数. ( ) (2)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4. ( ) (3)球的表面积等于它的大圆面积的2倍. ( ) (4)球的表面积是球的体积的6倍. ( ) 2.直径为1的球的体积是( ). A.1 B. C. D.π 3.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( ). A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 4.表面积为8π的球的半径是 . 【合作探究】 球的表面积与体积 从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展开成平面,因为橘子近似于球体,其外表皮近似于球面,这种曲面不能展开成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢 古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得的圆内接正多边形的边数越多,圆周率就越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想. 问题1:球面为什么不能展开成平面图形 问题2:类比利用圆的周长求圆的面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积.如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.如此,我们可以得到球的体积公式是什么 问题3:求球的表面积和体积需要什么条件 1.球的表面积 设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍. 2.球的体积 设球的半径为R,则球的体积V=πR3. 一、球的表面积和体积 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积; (2)已知球的体积为,求它的表面积. 【方法总结】计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 将一个底面半径为3,高为4的圆柱形铁块熔化为铁水,恰好制成一个实心铁球,则该实心铁球的半径是( ). A.2 B.3 C.4 D.6 二、球的截面问题 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6 cm,若不计容器厚度,则球的体积为 . 【方法总结】 球的截面问题的解题技巧:(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题;(2)解题时要注意借助球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 . 三、球的切、接问题 (1)若长方体的三个相邻面的面积分别是8,8,16,则该长方体外接球的体积为( ). A.24π B.32π C.36π D.48π (2)一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上,且该四棱柱的底面面积为3,高为,则球O的体积为( ). A.16π B. C.10π D. 【方法总结】(1)正方体的内切球:球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为a,则内切球的半径r1=,过在一个平面上的四个切点作截面,如图1. (2)长方体的外接球:长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,过球心作长方体的体对角线,则球的半径r2=,如图2. (3)正四面体的外接球:正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为R=a. 已知棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切,则该球的表面积为( ). A.4π B.2π C. D.π 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,∠BAC=,则该三棱柱外接球的体积为 . 四、 ... ...
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