一、两个计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1 (1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为( ) A．484 B．472 C．252 D．232 (2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为_____． 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么． (2)思考如何完成这件事． (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类． (4)选择计数原理进行计算． 跟踪训练1 (1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_____个．(用数字作答) (2)某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,1,2,5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，若甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数为( ) A．4 B．12 C．16 D．24 二、排列与组合的综合应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养． 例2 在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 反思感悟 解决排列、组合的综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题． (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接． (3)对于含有“至多”、“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净． 跟踪训练2 6人坐在排成一排的10个座位上，问： (1)空位不相邻的坐法有多少种？ (2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ (3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？ 三、二项式定理及其应用 1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解． 2．二项式原理所体现的是一种数学运算素养． 角度1 二项展开式的“赋值问题” 例3 (1)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求： ①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2； ②－a2＋a4－a6＋a8－a10. 反思感悟———赋值法”在二项展开式中的应用 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征． (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定． (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可． 跟踪训练3 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2 ... ...
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