第七章 7.2 7.2.2 复数的乘、除运算 A级———基础过关练 1．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( ) A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i 2．(2024年浏阳模拟)已知复数z＝2＋i，则＝( ) A．－ B．－－ C．＋ D．－＋ 3．(2024年惠州月考)设复数z＝(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(2024年常州天宁区月考)若z(1＋i)＝2＋3i，则复数z的共轭复数的虚部是( ) A．－i B．－ C．i D． 5．(多选)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题有( ) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 6．(2024年荆州模拟)在复数范围内，方程z2＝3＋2i的解有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 7．(2024年成都青羊区模拟)设z＝2－i，则的虚部为_____． 8．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝_____． 9．(2024年上海浦东新区四模)已知方程x2－2x＋p＝0(p∈R)的一个根是1＋i(i是虚数单位)，则p＝_____． 10．计算： (1)(2－i)(3＋i)； (2)． B级———综合运用练 11．(多选)(2024年成都青羊区期中)已知复数z满足z(1＋i)＝4－2i(i为虚数单位)，下列说法正确的有( ) A．复数z在复平面内对应的点在第四象限 B．＝－1－3i C．|z|＝ D．i2 024＝－1 12．(2024年南阳一中月考)已知复数z1＝a(a－3i)，z2＝－a＋(a2＋2)i(a∈Z)，且|z1＋z2|＝2，则a＝_____． 13．(2024年文昌校级期中)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且1·(1－2i)为纯虚数． (1)求复数z1； (2)若z2＝，求复数2及|z2|． C级———创新拓展练 14．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 参考答案 【A级———基础过关练】 1.【答案】A 【解析】由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i．故选A． 2.【答案】D 【解析】因为z＝2＋i，所以＝2－i，所以＝＝＝＝－＋i．故选D． 3.【答案】B 【解析】z＝＝＝＝－2－i，则＝－2＋i，可得对应点的坐标为 (－2,1)，位于第二象限．故选B． 4.【答案】B 【解析】因为z(1＋i)＝2＋3i，所以z＝＝＝＝＋i，所以复数z的共轭复数＝－i，它的虚部是－．故选B． 5.【答案】BD 【解析】∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确．故选BD． 6.【答案】C 【解析】设z＝a＋bi(a，b都是实数)，则z2＝3＋2i＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，所以a2－b2＝3，ab＝1，联立得，a2＝，即a的值有两个，对应的b也有两个．故选C． 7.【答案】 【解析】z＝2－i，则|z|2＝22＋(－1)2＝5，z2＝3－4i，故＝＝＝＋i，其虚部为． 8.【答案】1 【解析】依题意，得z＝＝i，所以＝－i．所以z·＝i·(－i)＝1． 9.【答案】4 【解析】因为方程x2－2x＋p＝0(p∈R)的一个根是1＋i，所以另一个根为1－i，根据方程的根与系数关系可得，p＝(1＋i)(1－i)＝4． 10.解：(1)(2－i)(3＋i)＝(7－i)＝＋i． (2)＝＝＝＝＝－2－2i． 【B级———能力提升练】 11.【答案】AC 【解析】因为z(1＋i)＝4－2i，所以z＝＝＝1－3i，所以z对应点(1，－3)在第四象限，故A正确；＝1＋3i，故B错误；|z|＝＝，故C正确；i2 024＝(i4)506＝1，故D错误．故选AC． 12.【答案】－1或3 【解析】复数z1＝a(a－3i)＝a2－3ai，z2＝－a＋(a2＋2)i(a∈Z)，可得z1＋z2＝a2－a＋(a2－3a＋2)i，|z1＋z2|＝＝2，即a2(a－1)2＋(a－2)2(a－1)2＝40，即(a－1)2(2a2－4a＋4)＝40，故(a－1)2[(a－1)2＋1]＝20．因为a∈Z，所以(a－1)2＋1∈Z，(a－1)2∈Z且(a－1)2≥0．因为20＝4×5＝22×(22＋1)，所以(a－1)2＝4，解得a＝－1或a＝3 ... ...
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