1.3 弧度制 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.3 弧度制 【学习目标】 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.(数学抽象) 2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式.(数学运算) 3.熟悉特殊角的弧度数.(数学运算) 【自主预习】 1.前面学过角度可以用角度制来衡量，那么还有其他的度量单位来表示角度吗 2.在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗 3.角度制下的扇形的弧长公式和扇形面积公式是什么 4.你认为式子|α|=中，比值与所取的圆的半径大小是否有关 5.用弧度制表示60°. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. (　　) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大. (　　) 2.对应的角度为(　　). A.75° B.125° C.135° D.155° 3.与角-终边相同的角是(　　). A. B. C. D. 4.已知扇形的半径r=30，圆心角α=，则该扇形的弧长等于　　　　，面积等于　　　　，周长等于　　　　. 【合作探究】 　角度与弧度的换算 　　单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度单位.如记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫.”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系.而现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”，应用起来要方便得多.初中几何里，角度制就是度量角的一种单位制. 问题1：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢 问题2： 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°，OP=r，点P所形成的的长为l，求弧长l与半径r的比值. 问题3：上述问题2中，射线OA上的一点Q(不同于点O)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的的长为l1，求弧长l1与半径r1的比值，其与问题2中的比值有何关系 1.角的单位制 (1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制. (2)弧度制：在单位圆中，把长度等于 的弧所对的 叫作1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的方法，叫作 ，它的单位符号是rad，读作 ，通常略去不写. (3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|= . (4)半径为 的圆叫作单位圆. 2.角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°= 2π rad=360° 180°= π rad= 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57°18' 特别提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以不写；(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；(3)角度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. 3.一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 设α1=510°，α2=-750°，β1=，β2=-. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在-360°~360°范围内找出与它们终边相同的所有的角. 【方法总结】　　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到： 度数×=弧度数，弧度数×=度数. 将下列角度与弧度进行互化，并指出是第几象限角. (1)；(2)-；(3)10°；(4)-855°. 已知α=15°，β=，γ=1，θ=105°，φ=，试比较α，β，γ，θ，φ的大小. 　用弧度制表示终边相同的角和区域角 　　引入弧度之后，在平面直角坐标系中，与角α终边相同的角，连同角α在内 ... ...