1.2.3 等差数列的前n项和 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

1.2.3 等差数列的前n项和 【学习目标】 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，能够将等差数列前n项和公式与实际问题相互联系，进而感受等差数列的实际运用.(数学建模) 2.能够正确推导有关等差数列前n项和的性质，并能够灵活运用.(逻辑推理) 【自主预习】 　　一个工厂把所生产的钢管堆成如图所示的形状，从上面的一排起，各排钢管的数量依次是3，4，5，6，7，8，9. 1.图中这些钢管的总数是多少 2.按图中规律堆放钢管n排，各排钢管的数量依次是3，4，5，6，7，…，n+2.此时，钢管总数是多少 3.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关 4.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式中共涉及几个量 如何求这些量 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差，可求S10. (　　) (2)已知等差数列的首项、末项a17，可求S17. (　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10+S20=S30. (　　) 2.若在等差数列{an}中，a1=1，d=1，则Sn=(　　). A.n B.n(n+1) C.n(n-1) D. 3.已知在等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=(　　). A.10 B.12 C.20 D.24 4.已知{an}是等差数列，a1=10，前10项和S10=70，则其公差d=　　　　. 【合作探究】 　等差数列的前n项和公式 　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑. 问题1：上述情境的图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能不能快速地求出呢 问题2：你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗 等差数列前n项和公式Sn==na1+，其推导方法是倒序相加法. (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=(　　). A.-12 B.-10 C.10 D.12 (2)在等差数列{an}中，a2=2，a4=6，若数列{an}的前m项和Sm=30，则m的值为(　　). A.4 B.5 C.6 D.7 【方法总结】通过列出方程组求得等差数列的首项和公差，再利用求和公式列式求解. 若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=(　　). A.12 B.13 C.14 D.15 在等差数列{an}中，a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为(　　). A.37 B.36 C.20 D.19 　a1，d，n，an，Sn，知三求二 问题：在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn 　　在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)，进而求出余下的两个量，计算时需注意整体代换及方程思想的应用. 在等差数列{an}中， (1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10； (2)已知a1=4，S8=172，求a8和d. 【方法总结】知三求二中，一般是根据已知的三个基本量列出方程(组)，再通过解方程(组)求出其他的两个未知量. 已知在等差数列{an}中， (1)a1=1，a4=7，求S9； (2)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 　等差数列前n项和的性质 　　已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. 问题1：从函数的观点分析Sn关于n的函数具有什么特点 问题2：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析. 问题3：an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项和等差数列求和公式进行推导. 问题4：S奇，S偶具有什么关系 对n分类讨论. 问题5：数列是什么数列 　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d. (1)Sn=An2+Bn，其中A=，B=a1-. (2)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (3)S2n-1=(2n-1)an，S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1). (4)当项数为偶数2n时，S偶-S奇=nd，S奇∶S偶=an∶an+1；当项数为奇数2n-1时，S奇-S偶=a中，S奇∶S偶=n∶(n-1). (5)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an} ... ...