1.2.2完全平方公式 拓展练习（含答案） 2024-2025学年湘教版七年级下册

1.2.2 完全平方公式 1．如图，两个正方形的边长分别为 a，b，如果 a+b=ab=9，则阴影部分的面积为 ( ) A ．9 B ．18 C ．27 D ．36 2 ．若代数式 x2 -10x+k2 是一个完全平方式，则 k= ( ) A ．25 B ．25 或 -25 C ．10 D ．5 或 -5 3 ．若 a+b=10 ，ab=11，则代数式 a2 -ab+b2 的值是( ) A ．89 B ． -89 C ．67 D ． -67 4．已知 k 为常数，若多项式 25x2+kx+1 恰好是另一个多项式的平方，则 k=( ) A ．5 B ．±5 C ．10 D ．±10 5 ．如果（x+1）2=3 ，|y -1|=1，那么代数式 x2+2x+y2 -2y+5 的值是( ) A ．7 B ．9 C ．13 D ．14 6 ．若 x2+2（m -3）x+16 是完全平方式，则 m 的值等于 ． 7 ．仔细观察下列各式及其展开式： （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 请你根据上式各项系数的规律，求出（a+b）9 的展开式的第 3 项 ． 1 8 ．已知（a+b）2=1，（a -b）2=49，则 ab= ． 9．若多项式 4x2+1 与一个单项式 M 的和是一个完全平方，则所有符合条件的 M 是： ． 10 ．已知（x+y）2=25，（x -y）2=9，则 x2+y2= ． 11 ．已知（x+y）2=9，（x -y）2=25，分别求 x2+y2 和 xy 的值． 12 ．如图，两个正方形边长分别为 a 、b， （1）求阴影部分的面积； （2）如果 a+b=12 ，ab=30，求阴影部分的面积． 13 ．已知 a+b=2 ，a2+b2=10，求： （1）ab 的值． （2）a -b 的值． 14 ．已知：（ ）=x+1 （1）请计算（ ）内应该填写的式子； （2）若（ ）代数式的值为 3，求 x 的值． 2 15 ．张老师在黑板上布置了一道题： 计算：2（x+1）2 -（4x -5），求当 x=和 x= - 时的值． 小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由． 3 参考答案 1 ．C 【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出 即可． 【解答】解：∵a+b=ab=6， ∴S=a2+b2 -a2 -b（a+b）=（a2+b2 -ab）=[（a+b）2 -3ab]=×（81 -27） =27． 故选：C． 2 ．D 【分析】由已知二次三项式为一个完全平方式，得到一次项系数一半的平方等于 常数项，列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值． 【解答】解：∵二次三项式 x2 -10x+k2 是一个完全平方式， ∴x2 -10x+k2=（x -5）2=x2 -10x+25， ∴k2=52， 解得 k=±5． 故选：D． 3 ．C 【分析】把 a+b=10 两边平方，利用完全平方公式化简，将 ab=11 代入求出 a2+b2 的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：把 a+b=10 两边平方得： （a+b）2=a2+b2+2ab=100， 把 ab=11 代入得： a2+b2=78， ∴原式=78 -11=67， 故选：C． 4 ．D 【分析】根据完全平方公式的平方项确定出首末两项是 5x 和 1 的平方，那么中 间项为加上或减去 5x 和 1 的乘积的 2 倍． 【解答】解：∵25x2+kx+1 恰好是另一个多项式的平方， 4 ∴kx=±2×1 5x， ∴k=±10． 故选：D． 5 ．A 【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵（x+1）2=3 ，|y -1|=1， ∴原式=（x2+2x+1）+（y2 -2y+1）+3=（x+1）2+（y -1）2+3=3+1+3=7， 故选：A． 6 ． 7 或 -1 【分析】根据已知完全平方式得出 2（m -3）x=±2 x 4，求出即可． 【解答】解：∵x2+2（m -3）x+16 是完全平方式， ∴2（m -3）x=±2 x 4， 解得：m=7 或 -1， 故答案为：7 或 -1． 7 ． 36a7b2 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）9 的展开式中第三项的系数以及字母 及其指数的规律． 【解答】解：观察发现， （a+b）3 的第三项系数为 3=1+2，字母及其指数为 ab2； （a+b）4 的第三项系数为 6=1+2+3，字母及其指数为 a2b2； （a+b）5 的第三项系数为 10=1+2+3+4，字母及其指数为 a3b2； … 则（a+b）n ... ...