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课件网) 选择必修三 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.2 排列数 教学目标 学习目标 数学素养 1.能在排列的基础给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数. 1.归纳的数学素养. 2.通过计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能求具体问题的排列数. 2.逻辑推理素养. 3.会解决排列的简单应用问题 3.数学建模素养和数学运算素养. 温故知新 1.排列的定义 2.排列问题的判断方法： ⑴元素的无重复性； ⑵元素的有序性. 一般地，从 n 个不同中取出 m 个元素(m ≤ n)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement). 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求. 知新探究 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. “排列数”是指从n个不同元素中任取m个元素(m≤n)的所有排列的个数，它是一个数.所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列. 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. 符号中的A是英文arrangement（排列）的第一个字母. “排列数”与“排列”有什么区别和联系？ “一个排列”是指：从n个不同元素中任取m个元素(m≤n),按照一定的顺序排成一列，它不是数值.它是指具体的排法. 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为.已经算得 . 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为.已经算得 . 知新探究 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数.根据前面的求解经验，可以这样考虑： 现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事可以分为两个步骤分成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这个n元素中任选1个，有n种选法； 假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到了一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 根据分步乘法计数原理，2个空位的填空种数为 从n个不同元素中取m个元素的排列数(m ≤n)是多少？ 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种选法. . 知新探究 一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑： 同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有 假定有排好顺序的个空位，如图所示，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填空的种数就是排列数. . ...... n 种 (n-1)种 (n-2)种 n-(m-1)种 第1位 第2位 第3位 第m位 ...... 知新探究 填空可以分为m个步骤完成： ...... n 种 (n-1)种 (n-2)种 n-(m-1)种 第1位 第2位 第3位 第m位 ...... 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法； 第2步，从剩下的(n-1)个不同元素中任选1个填在第2位，有(n-1)种选法； 第3步，从剩下的(n-2)个不同元素中任选1个填在第3位，有(n-2)种选法； …… 第m步，从剩下的[n-(m-1)]个不同元素中任选1个填在第3位，有[n-(m-1)]种选法. 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为 知新探究 这里，，并且.这个公式叫做排列数公式. 这样，我们就得到公式 1.右边第一个因数是n，后边每个因数都比它前面的一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个连续的正整数相乘. . 你能说一下排列数公式的特点吗？ 3. 2.，并且. 知新探究 根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数.例如， 这时,排列数公式中m＝n，即有 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. ， . . 也就是说，将n个不同 ... ...
