2.1.2 空间两点间的距离（课件 学案 练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

2.1.2　空间两点间的距离 [学习目标]　1.掌握空间两点间的距离公式的推导过程.2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题. 一、求空间两点间的距离 问题1　如图，已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，怎样求其对角线的长度？ 问题2　类比长方体对角线的求解过程，探求空间两点间的距离.如图，设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)为空间两点，求|M1M2|. 知识梳理 空间两点间的距离公式 (1)空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|=　　　　　　　　. (2)原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=　　　　　　　　. 例1　已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度. 反思感悟　(1)求空间两点间的距离首先明确两点的坐标，然后代入距离公式进行准确计算. (2)若所给题目未建立坐标系，需结合题中图形的特征，建立适当的坐标系，再利用距离公式进行计算. 跟踪训练1　(多选)如果点M在x轴上，且满足|MO|=2(O是坐标原点)，则点M到点A(1，1，1)的距离是(　　) A. B. C.3 D.4 二、由空间两点间的距离求空间点的坐标 例2　在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，-3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 反思感悟　解决此类问题，往往先设出待求点的坐标，根据题中条件和距离公式建立已知和未知之间的关系式，进而求解. 跟踪训练2　已知A(x，5-x，2x-1)，B(1，x+2，2-x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|. 三、空间两点间的距离公式的应用 例3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=2，|AA1|=3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|=a，当a为何值时，NP的长最小？ 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系之后，常常需要设出点的坐标，应结合点所在的坐标轴或坐标平面使点的坐标更简化，求解更方便. (2)涉及几何体求解最值问题时，要注意坐标变量的范围. 跟踪训练3　在xOy平面内的直线2x-y=0上确定一点M，使它到点P(-3，4，5)的距离最小，并求出距离的最小值. 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式的推导. (2)求空间两点间的距离. (3)空间两点间的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：要合理建系，准确计算. 1.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)到点B(2，-1，6)的距离是(　　) A.2 B.2 C.9 D. 2.已知三角形的三个顶点A(2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(5，0，2)，则过点A的中线长为(　　) A. B.2 C.11 D.3 3.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为　　　　. 答案精析 问题1　在Rt△ABC中，由勾股定理可知，|AC|=， 在Rt△ACC'中， |AC'|==， 于是长方体的对角线长为 d=. 问题2　在Rt△M1NM2及Rt△M1PN中，由勾股定理知|M1M2|2=|M1P|2+|PN|2+|NM2|2. ∵|M1P|=|x2-x1|， |PN|=|y2-y1|， |NM2|=|z2-z1|， ∴|M1M2| = =. 知识梳理 (1) (2) 例1　解　(1)由空间两点间的距离公式得 |AB|==3， |BC|==， |AC|==， ∴△ABC中最短边是BC，其长度为. (2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为， ∴AC边上中线的长度为 =. 跟踪训练1　AB 例2　解　假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形. 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立， 所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形. 因为|MA|= =，|AB|=2， 于是=2， 解得y=±. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，-，0). 跟踪训练2　解　由空间两点间的距离公 ... ...