3.2.3 离散型随机变量的数学期望 [学习目标] 1.通过实例理解离散型随机变量的数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望.2.理解离散型随机变量的数学期望的性质.3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的数学期望.4.会利用离散型随机变量的数学期望，反映离散型随机变量取值的平均水平，解决一些相关的实际问题. 一、离散型随机变量的数学期望 问题1 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出X的分布列吗？ 知识梳理 离散型随机变量的数学期望 (1)离散型随机变量的数学期望的概念： 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)= 为X的数学期望或均值. (2)离散型随机变量的数学期望的意义： 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的 . 例1 某节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与数学期望. 反思感悟 求随机变量X的数学期望关键是写出分布列，一般分为四步 (1)确定X的可能取值； (2)计算出P(X=k)； (3)写出分布列； (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 跟踪训练1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望. 二、两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望 知识梳理 1.两点分布：若X~B(1，p)，则E(X)= . 2.二项分布：若X~B(n，p)，则E(X)= . 3.超几何分布：若X~H(N，M，n)，则E(X)= . 例2 为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生三胎的有4人，不打算生三胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生三胎的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生三胎的人数为η，求随机变量η的分布列和数学期望. 反思感悟 求常见的几种分布的数学期望的关注点 (1)关键：根据题意准确判断分布类型. (2)计算：若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得数学期望. 跟踪训练2 中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如表所示： 成绩 年龄段 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31~40岁 4 8 13 9 6 41~50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在[0，60)内代表对中医药文化了解程度低，成绩在[60，100]内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记X为对中医药文化了解程度高的人数，求X的分布列和数学期望. 三、数学期望的性质及综合应用 问题2 若X，Y都是一离散型随机变量，且Y=aX+b( ... ...
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