3．1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 [学习目标] 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题． 一、椭圆的几何性质 问题1 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 短轴长＝_____，长轴长＝_____ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：_____，对称中心：_____ 问题2 扁平程度是椭圆的重要形状特征．观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 知识梳理 椭圆的离心率： e＝_____∈(0,1)． 例1 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 反思感悟 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8. 反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程． 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 三、求椭圆的离心率 例3 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____． 延伸探究 1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 反思感悟 求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 跟踪训练3 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 1．知识清单： (1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率． 2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)． 3．常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围0＜e＜1及长轴长与a的关系． 1．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( ) A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则_____更扁平．(填序号) 第1课时 椭圆的简单几何性质 问题1 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1 ... ...
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