备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题4 三角函数 全国联赛真题汇编 1．（2023·全国联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为_____． 【答案】 【详解】将代入方程，整理得，解得 上述解亦可写成，其中对应最小的20个正实数解，它们的和为． 2．（2022·全国联赛B1卷）设，若，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故 解得． 3．（2023·全国联赛B卷）将方程的所有正实数解从小到大依次记为．求的值． 【答案】 【详解】由于，原方程等价于．所以 其中所有正实数解为或，故 从而 4．（2022·全国联赛B卷）若为实数，，函数在闭区间上的最大值与最小值之差为1，求的取值范围． 【答案】 【详解】根据正弦函数的图像特征，若，则(a，b)内存在的一个最值点与一个零点，取充分小的正数，使得区间，此时异号，故存在，使得与异号，则，矛盾． 若，则在上的最大值点与最小值点必为一个长度小于的单调区间的两个端点与，而 矛盾． 另一方面，令，则在上的最大值为1，最小值为0，符合要求．此时可取遍中的值． 又令，则在上的最大值为，最小值为，符合要求．当时，，当时(并且当在中连续变化时，的值连续变化)，从而可取遍中的值． 综上，的取值范围是． 各省预赛试题汇编 5．（2023·吉林预赛）已知函数，则下列说法错误的是 A．在内有两个零点 B．的图象关于点成中心对称 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】C 【详解】 则在上单调递增，在上单调递减， 即．故选． 6．（2022·吉林预赛）关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，所以选． 7．（2022·吉林预赛）已知函数，则下列结论中错误的是 A．的图象有对称中心 B．的图象有对称轴 C．方程有解 D．方程在内解的个数是偶数 【答案】C 【详解】是奇函数，正确； 图象关于直线对称，正确； 所以选． 8．（2024·广东预赛）若为锐角且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 设 ，等号成立时． 所以的最大值为． 9．（2024·广东预赛）设均为非零实数，满足．在中，若，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】不妨设，则 ， 于是， 从而． 所以 ， 其中． 设 ， 则在上单调递增，在上单调递减， 即． 综上，的最大值为． 10．（2024·江苏预赛）设，则函数的最大值为_____． 【答案】 【详解】， 则在区间上单调递减， 所以函数的最大值为． 11．（2024·江苏预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】，由于， 则，依题意，． 于是，所以的取值范围为． 12．（2024·贵州预赛）_____．(用数字作答) 【答案】0 【详解】 注意到，所以． 13．（2024·北京预赛）已知函数，且为奇函数． 若方程在上有四个不同的实数解 ，则的平方值为 ． 【答案】 【详解】 ， 为奇函数的图像关于点对称， 所以，所以， ， ， 方程，即方程在上有四个不同的实数解， 则或，即或， 当，即时， 则，， ， 当，即时， ， ， ， 所以，的平方值为． 14．（2024·吉林预赛）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的值为_____． 【答案】或． 【详解】所以， ， 所以， 所以关于直线对称． 又， 因为关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 所以的图象在上有奇数个不同的交点， 因为关于直线对称， 所以时，的图象在上有奇数个不同的交点， 因为区间是半开半闭区间， 所以时，的图象在上有奇数个不同的交点， 综上的值为或． 15．（2024·江西预赛）的值为_____． 【答案】 【详解】 而， 所以． 16．（2024·浙江预赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】 【详解】令，， 当时，原函数变形为， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 故或， ... ...
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