勾股定理 直角三角形 等于 ． 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的 等于 ，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言：如图，在△ABC中， ∵ ， ∴△ABC是直角三角形． 互逆命题与互逆定理 1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 分别是另一个命题的 ，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．例如，原命题：两直线平行，同位角相等；逆命题：同位角相等，两直线平行． 2．互逆定理：如果一个定理的 经过证明是 ，那么它也是一个定理，这两个定理叫做 ，其中一个叫做另一个的逆定理． (1)任何一个命题均有逆命题．(2)原命题是真命题时，逆命题不一定是真命题．(3)不是所有的定理都有逆定理． 勾股定理 典例1 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的) 典例1图 变式 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( ) A．5 B. C. D．5或 勾股定理的逆定理 典例2 △ABC的各边长分别为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2. 求证：△ABC是直角三角形． 在运用勾股定理逆定理判断三角形形状时，可以根据条件找出最长边． 变式 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝13，CD＝12. 求证：∠ACD＝90°. 变式图 互逆命题 典例3 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)对顶角相等． 1．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞( ) 第1题图 A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 2．下列结论错误的是( ) A．三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形 B．三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C．三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形 D．三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形 3．[2024·石家庄期中]下列命题的逆命题是真命题的是( ) A．若a＝2，则a3＝8 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．如果两个角是直角，那么它们相等 4．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26 cm2，10 cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 cm2. 第4题图 5．[2024春·巩义市期末]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2, BC＝4，则AB2＋CD2＝ ． 第5题图“HL”定理 定理： 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 符号语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)． “HL”只适合直角三角形，不适合一般的三角形，判定两个直角三角形全等，也可以用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”． 用“HL”定理证明两个直角三角形全等 典例 [镇江中考]如图，AD, BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证： △ACB≌△BDA； (2)若∠ABC ＝35°，则∠CAO＝ ． 典例图 在使用“HL”证明两直角三角形全等时，一定要说明是直角三角形．本题易忽视指出△ACB和△BDA为直角三角形，而直接用HL证明． 变式 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝ 时，才能使△ABC≌△QPA. 变式图 1．[2024春·浑南区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( ) 第1题图 A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 2．[2024春·临渭区期末]如图，CD⊥AB, BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是( ) 第2题图 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，∠C＝90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC＝MD，如果AC＝8，AB＝10，那么BD的长度为( ) 第3题 ... ...
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