6.2.4　向量的数量积第1课时课件(共41张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(课件网) 第1课时　向量数量积的概念及性质 第六章　平面向量及其 6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 整体感知 [学习目标]　1．了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功． 2．掌握向量数量积的定义及投影向量． 3．会计算平面向量的数量积． [讨论交流]　预习教材P17－P19的内容，思考以下问题： 问题1．什么是向量的夹角？ 问题2．数量积的定义是什么？ 问题3．投影向量的定义是什么？ 问题4．向量数量积有哪些性质？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1　两向量的夹角 [新知生成] 已知两个____向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(_____)叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b____； 当θ＝π时，向量a，b____； 当θ＝时，向量a与b____，记作a⊥b． 非零 0≤θ≤π 同向 反向 垂直 【教用·微提醒】　两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． [典例讲评]　1．如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角． (1)与；(2)与； (3)与． [解]　(1)与的夹角是∠EDF＝60°． (2)因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°． (3)如图，延长FD至B′，使DB′＝FD，则＝，则与的夹角等于与的夹角，即∠EDB′＝120°． 反思领悟　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． [学以致用]　1．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°． 以OA，OB为邻边作 OACB， 则＝a＋b，＝a－b． 因为|a|＝|b|＝2， 所以 OACB是菱形，又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°， 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°． 【教用·备选题】　 如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量与的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角． [解]　(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量与的夹角． 因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°， 所以向量与的夹角为120°． (2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC， 所以向量与的夹角为90°． 探究2　两向量的数量积 探究问题1　物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？其结果是向量还是数量？由此你认为两个向量可以相乘吗？ [提示]　W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．其结果是数量．两个向量可以相乘． [新知生成] 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为_． 0 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b|__|a||b|． (5)cos θ＝． ≤ 【教用·微提醒】　 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0． (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． 【链接·教材例题】 例9　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝，求a·b． [解]　a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4×cos ＝5×4× ＝－10． 例10　设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a与b的夹角θ． [解]　由a·b＝|a||b|cos θ，得 cos θ＝＝＝－． 因为θ∈[0，π]，所以θ＝． [ ... ...