6.4.3　余弦定理、正弦定理第1课时课件(共39张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(课件网) 第1课时　余弦定理 第六章　平面向量及其 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 整体感知 [学习目标]　1．掌握余弦定理的表示形式及证明方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． [讨论交流]　预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 问题1．余弦定理的内容是什么？如何推导？ 问题2．余弦定理有哪些推论？ 问题3．应用余弦定理可以解哪些三角形？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1　余弦定理的推导 探究问题1　在△ABC中，当＝b，＝a，试求||2． [提示]　∵＝， ∴||＝||， ∴||2＝＋－2·＝a2＋b2－2|a||b|cos C． [新知生成]　余弦定理的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于_____减去这两边与它们_____的两倍 符号语言 a2＝_____； b2＝_____； c2＝_____ 其他两边平方的和 夹角的余弦的积 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 【教用·微提醒】　(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立． (2)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一． (3)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，定理变为c2＝a2＋b2，这就是勾股定理，所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． [典例讲评]　1．(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A ＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝． (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2． 反思领悟　已知三角形的两边及一角求第三边的思路 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角． ①若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边； ②若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． [学以致用]　1．(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，b＝1，c＝，则a＝(　　) A．1　　　B．2　　　C．　　　D．3 (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝_____． √ 3 (1)A　(2)3　[(1)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋2－2×＝1，所以a＝1．故选A． (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝22＋b2－2×2bcos A， 因为cos A＝， 所以3b2－8b－3＝0， 解得b＝3．] 探究2　已知三边解三角形 探究问题2　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A呢？ [提示]　cos A＝． [新知生成] 1．余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝_____， cos B＝_____，cos C＝_____． 2．解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的____． (2)已知三角形的几个元素求_____的过程叫做解三角形． 元素 其他元素 【链接·教材例题】 例5　在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)． [解]　由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bc cos A ＝602＋342－2×60×34×cos 41° ≈1 676.78， 所以a≈41(cm)． 由余弦定理的推论，得 cos B＝＝＝－， 利用计算器，可得B≈106°． 所以C＝180°－(A＋B)≈180°－(41°＋106°)＝33°． 例6　在△ABC中，a＝7，b＝8，锐角C满足sin C＝，求B(精确到1°)． 分析：由条件可求cos C，再利用余弦定理及其推论可求出B的值． [解]　因为sin C＝，且C为锐角， 所以cos C＝＝＝． 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2ab cosC＝49＋64－2×7×8×＝9， 所以 ... ...