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课件网) 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第六章 平面向量及其 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 整体感知 [学习目标] 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． [讨论交流] 预习教材P34－P35的内容，思考以下问题： 问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 问题2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1 平面向量数量积的坐标表示 探究问题1 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐标表示a·b的值吗？ [提示] 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0． ∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i 2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2． 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2． [新知生成] 平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的_____． x1x2＋y1y2 乘积的和 [典例讲评] 1．(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( ) A．10 B．－10 C．3 D．－3 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，求·的值． √ (1)B [a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10． 故选B．] (2)[解] 以的方向分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系． 则A，B，F，E(1，2)， 所以＝＝， 所以·＝1×＋2×1＝0． [母题探究]本例(2)的条件“F为AD的中点”换成“点F在AD上，且＝2”，求·的值． [解] 建立平面直角坐标系如图所示，由题意可知， A，B，C，F，E， 所以＝(－1，2)，＝， 所以·＝(－1，2)· ＝(－1)×(－2)＋2×＝． 反思领悟 在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． [学以致用] 1．(1)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝24，则x等于( ) A．6 B．2 C．4 D．3 (2)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝_____． √ 4 (1)B (2)4 [(1)由题意得8a－b＝(6，3)，c＝(3，x)，所以(8a－b)·c＝18＋3x＝24，解得x＝2． (2)以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图． 则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)． 所以＝(－2，0)，＝(－2，y)， 得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．] 【教用·备选题】 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是_____． 4 [以A为坐标原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)． 可设F(x，2)，因为·＝(，0)·(x，2)＝ x＝．所以x＝1，F(1，2)．则＝(1－， 2)，·＝(，1)·(1－，2)＝．] 4 探究2 向量模的坐标表示 探究问题2 若向量a＝(x，y)，向量a的模如何表示？若A(x1，y1)，B(x2，y2), 的模如何表示？ [提示] 根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝＝(x2－x1，y2－y1)， 则||＝． [新知生成] 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝_____，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝_____，|a|＝． x2＋y2 (x2－x1，y2－y1) [典例讲评] 2．若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： (1)向量a的模； (2)与a平行的单位向 ... ...
