6.4.3　余弦定理、正弦定理第2课时课件(共40张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(课件网) 第2课时　正弦定理 第六章　平面向量及其 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 整体感知 [学习目标]　1．能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． [讨论交流]　预习教材P45－P48的内容，思考以下问题： 问题1．正弦定理的内容是什么？如何推导？ 问题2．应用正弦定理可以解哪些三角形？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1　正弦定理的推导 探究问题1　在Rt△ABC中，有sin A＝，sin B＝，你能从这两个式子中得出A，B，a，b的定量关系式吗？ [提示]　＝． 探究问题2　在斜三角形中，关系式＝＝是否依然成立？你能类比余弦定理的推导过程，用向量法证明这个结论吗？ [提示]　在斜三角形中，上述关系依然成立．证明如下： (1)在锐角三角形中， 如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C． 因为＝，所以j·()＝j·． 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即| j|||cos ＋| j|||cos ＝| j|||cos ，也即asin C＝csin A， 所以＝． 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 ＝． 因此＝＝． (2)在钝角三角形中，当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得 ＝＝． 探究问题3　在△ABC中，＝＝，那么这个比值是多少？ [提示]　如图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， 所以在△AB′C中，＝＝c， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R (R为△ABC外接圆的半径)． [新知生成] 在一个三角形中，各边和它所对角的____的比相等，即＝＝＝____．(R为△ABC外接圆的半径) 正弦 2R 探究2　正弦定理的应用 探究问题4　应用正弦定理可以解哪几类三角形问题？ [提示]　利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 角度1　已知两角及任意一边解三角形 【链接·教材例题】 例7　在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形． [解]　由三角形内角和定理，得 C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°． 由正弦定理，得 a＝＝ ＝＝ ＝＝，b＝＝ ＝＝． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)已知△ABC中，c＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，sin 75°＝，求a，b． [解]　由题意可得∠C＝180°－45°－60°＝75°． 由正弦定理得a＝＝． 又sin 75°＝，于是a＝＝4－4． 同理可得b＝＝＝6－2． 反思领悟　已知两角及任意一边，利用正弦定理解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个元素就可以求剩下的一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． [学以致用]　1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． [解]　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°． 由＝得a＝＝10×＝10． 因为sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5． 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 【链接·教材例题】 例8　在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形． 分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理． [解]　由正弦定理，得 sin C＝＝＝． 因为c＞b，B＝30°， 所以30°＜C＜180°． 于是C＝45°，或C＝135°． (1)当C＝45°时 ... ...