4.4.2 数学归纳法的综合应用 [学习目标] 1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题． 一、用数学归纳法证明不等式 例1 用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 反思感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法． (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 跟踪训练1 求证：＋＋＋…＋＞(n≥2)． 二、归纳—猜想—证明 例2 在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明． 反思感悟 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 跟踪训练2 已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． 三、整除问题 例3 用数学归纳法证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 反思感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明． 跟踪训练3 用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． 1．知识清单： (1)利用数学归纳法证明不等式． (2)归纳－猜想－证明． (3)利用数学归纳法证明整除问题． 2．方法归纳：数学归纳法． 3．常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化． 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( ) A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3 2．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的过程中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( ) A．5＋3×2k B.＋4×5k－2k C．(5－2) D．2－3×5k 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( ) A. B. C. D. 4．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为_____(n∈N*)． 4.4.2 数学归纳法的综合应用 例1 证明 (1)当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝. 显然<，所以不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋ ＝1－ ＝1－<1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)和(2)可知，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． 跟踪训练1 证明 (1)当n＝2时，左边＝＞0＝右边， ∴不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立． 即＋＋…＋＞成立． 那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋ ＞＋＋…＋＞＋ ＝＋＝， ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立． 例2 解 ∵a2＝， 且an＋1＝(n≥2)， ∴a3＝＝＝， a4＝＝＝. 猜想：an＝(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明猜想正确： (1)当n＝1,2时易知猜想正确． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确， ... ...
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