2016人教版中考数学压轴题专题二几何综合

2016中考压轴题专题二 几何综合题 【考情分析】 纵观全国各地中考数学试题，几何综合题主要包括三角形（全等、相似）、四边形、锐角三角函数、圆等相关的知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律。【来源：21·世纪·教育·网】 在求解几何综合题时，关键是将题目中的复杂图形转化成我们平时熟悉的“基本图形”，运用基本图象的性质，合理运用方程、三角函数运算等方法进行推理与计算。在我们不能直接从复杂图形中抽象出“基本图形”时，这里我们有两种最基本的想法： ①通过添加辅助线，构造“基本图形”； ②运用图形的变换的思想，将分散的条件的条件相对集中从而产生基本图形。 热点一：三角形 1.如图1，在等腰直角△ABC中，，，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE．21·世纪*教育网 （1）当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时，折痕DE的长是多少？（可在备用图上作图） （2）连接A1B，当点E在边AB上移动时，求A1B长的最小值． 解：（1）∵点D到边BC的距离是DC=DA=1， ∴点A1落在边BC上时，点A1与点C重合，如图所示． 此时，DE为AC的垂直平分线，即DE为△ABC的中位线， ∴ (2)连接BD， 在Rt△BCD中，， 由△A1DE≌△ADE，可得：A1D=AD=1． 由A1B+A1D≥BD，得：A1B≥BD－A1D=， ∴A1B长的最小值是． 2..如图（甲），在中，，、分别是、边上的点，且，与相交于点， （1）求的值； （2）如图 (乙)，在中，，点在边的延长线上，在边上，且，求 ①； ②若，求的值. 解：(1)过作∥，交的延长线于点（如图11甲）, ∴， ． 又∵，， ∴． 又∵, ∴ ∴， 即：． (2) ①过作∥，交的延长线于点(如图乙)， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即：． ②在①的条件下， ∵，， ∴、、分别为、、． 又∵， ∴，． 由可得， ∴、为等腰直角三角形， ∴、、． 又∵， ∴， ∴． 3如图，在中，是边上的高，是边上的中线， （1）求的长 （2）求的值 解：（1）在△ABC中，∵ AD是BC边上的高，∴∠ ADB=∠ ADC=90°． ∵，∴∠C=45°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，∠C=45°，∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，，AD=1，∴ ∴=．∴． （2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC= ． ∴DE=CE﹣CD=．∴． 热点二：四边形 1.如图，在正方形中，点是上的点，点是的延长线一点，，连结和，与交于点，且．21教育网 （1）过点作于点，证明：∽； （2）证明：； （3）若，求值． 解：（1）证明：∵在正方形中，∥， ∴， 又∵，，∴， ∴∽； （2）∵， ∴，， ∴是等腰底边上的高， ∴， 由（1）得，，∴， ∴， （3）∵，∴正方形的边长为2， 设（），则，， ∴在中，， 由，得， 即，解得，， ∵，∴， 或：设，则，， ∴在中，， 由，得， 即，∵，∴， ∴． 2.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)，∠APE=90°, 且点E在BC边上, AE交BD于点F. （1）求证：① △PAB≌△PCB； ② PE=PC； （2）在点P的运动过程中，的值是否改变，若不变，求出它的值；若改变，请说明理由； （3）设DP=x, 当x为何值时，AE∥PC，并判断此时四边形PAFC的形状. 解：（1）① ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB=BC, ∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°. ∵ PB=PB， ∴ △PAB≌△PCB （SAS）. ② 由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB. ∵ ∠ABE=∠APE=90°， ∴ ∠PAB+∠PEB=180°， 又∵ ∠PEC+∠PEB=180°， ∴ ∠PEC=∠PAB=∠PCB， ∴ PE=PC. （2） 在点P的运动过程中，的值不改变. 由△PAB≌△PCB可知，PA=PC. ∵ PE=PC， ∴ PA=PE， 又∵∠APE=90°， ∴ △PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°， ∴ . （3） ∵ AE∥PC， ∴ ∠CPE=∠PEA=45°， ∴ 在△PEC中，∠PCE=∠PE ... ...