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课件网) 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.能用基本事实4与等角定理解决一些简单的相关问题. 文字语言 平行于同一条直线的两条直线_____ 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c _____ 作用 证明两条直线平行 平行 a∥c 微提醒:基本事实4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法. 如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证:四边形EFGH是平行四边形; [分析] 由中点联系到中位线的性质,然后用平行直线的传递性解题. 例1 [证明] (1)因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点, 所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=AC, 所以EF∥HG,EF=HG, 所以四边形EFGH是平行四边形. (2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形. [分析] 由中点联系到中位线的性质,然后用平行直线的传递性解题. [证明] (2)因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,EH=BD. 因为EF=AC,AC=BD,所以EH=EF. 又因为EFGH是平行四边形,所以四边形EFGH是菱形. 证明两直线平行的常用方法 1.利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与第三边. 2.定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点. 3.利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. 思维提升 1.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形. 跟踪训练 证明:如图,连接AC,在△ACD中, ∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△ACD的中位线, ∴MN∥AC,且MN=AC. ∵AA1=CC1,且AA1∥CC1, ∴四边形AA1C1C是平行四边形, ∴AC∥A1C1,且AC=A1C1.∴MN∥A1C1, 且MN=A1C1, 即MN≠A1C1, ∴四边形MNA1C1是梯形. 1．定理 相等或互补 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____ 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推论 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 如图所示,在正方体ABCD -A'B'C'D'中,已知E,E'分别是正方体ABCD -A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点.求证:∠BEC=∠B'E'C'. [分析] 用等角定理证明空间中的两个角相等,只需证明角的两边所在直线对应平行,且角的两边方向相同即可. 例2 [证明] 如图所示,连接EE'. 因为E,E'分别是AD,A'D'的中点, 所以AE∥A'E',且AE=A'E', 所以四边形AEE'A'是平行四边形, 所以AA'∥EE',且AA'=EE'. 又因为AA'∥BB',且AA'=BB',所以EE'∥BB',且EE'=BB', 所以四边形BEE'B'是平行四边形, 所以BE∥B'E'. 同理可证CE∥C'E'. 又∠BEC与∠B'E'C'的两边方向相同, 所以∠BEC=∠B'E'C'. 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同,若都相同或都相反,则两角相等;若一条相同,一条相反,则两角互补. 思维提升 2.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证: (1)GB∥D1F; 跟踪训练 证明:(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别是棱BB1,DD1的中点, 所以D1G=BF,且D1G∥BF,所以四边形D1GBF是平行四边形,所以GB∥D1F. (2)∠BGC=∠FD1E. 证明: (2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点, 所以D1G=CE,D1G∥CE,所以四边形D1GCE是平行四边形,所以GC∥ED1,由(1)知:GB∥D1F, 由图形可知:∠BGC,∠FD1E均为锐角,所以∠BGC=∠FD1E. 如图,四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形,且BC∥AD,BE∥FA且BC=AD,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点. ( ... ...
