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课件网) 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 [学习目标] 1.借助长方体,了解空间中直线与直线垂直的关系. 2.掌握两条异面直线所成角的定义,并能熟练求解两异面直线所成的角. 定义 前提 两条异面直线a,b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为α,则0°<α≤90° 微提醒: 1.两条异面直线所成的角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关. 2.找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 如图,在正方体ABCD -EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求: (1)BE与CG所成角的大小; 例1 [解] (1)∵CG∥BF,∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中,EF=FB,∴∠EBF=45°,∴BE与CG所成的角为45°. (2)FO与BD所成角的大小. [解](2)如图,连接FH, ∵FB=HD,FB∥HD,∴四边形FBDH是平行四边形, ∴BD∥FH,∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角,连接HA,AF, 则△AFH是等边三角形,又O是AH的中点,∴∠HFO=30°,∴FO与BD所成的角为30°. 求两条异面直线所成角的步骤 1.作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角. 2.证:证明作出的角就是要求的角,其实质是证明线线平行,并指出所作的角就是要求的角. 3.计算:求角的值,常利用解三角形得出. 4.结论:可用“一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<α≤90°. 思维提升 1.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角. 跟踪训练 解:因为D,E分别是VB,VC的中点, 所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角, 又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点, 所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形, 于是∠ABC=45°, 故异面直线DE与AB所成的角为45°. 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线_____．直线a与直线b垂直，记作_____． 互相垂直 a⊥b 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D. [分析] 要证明AC⊥B1D,应先构造直线AC与B1D所成的角,再证明这个角是直角,即得AC⊥B1D. 例2 [证明] 如图,连接BD,交AC于O,设BB1的中点为E, 连接OE,则OE∥DB1, 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角. 连接AE,CE,易证AE=CE, 又O是AC的中点,所以AC⊥OE,所以AC⊥B1D. 证明两条直线垂直的常用方法 1.定义法:两异面直线平移转化为相交线,解三角形判定垂直. 2.转化法:a∥c,c⊥b a⊥b. 注意:平面几何中的垂直结论要熟知:矩形相邻两边、菱形两对角线、等腰三角形三线合一等. 思维提升 2.如图,在正三棱柱ABC -A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'. 跟踪训练 证明:如图,取CC'的中点F,连接EF,BF, ∵E为AC的中点, F为CC'的中点,∴EF∥AC', ∴BE和EF所成的角为∠BEF, 即为异面直线BE与AC'所成的角,且EF=AC'. 在正三棱柱ABC -A'B'C'中, ∵AB=BB'=2, ∴AC'=2,∴EF=. 在等边三角形ABC中,BE= , 在Rt△BCF中,BF= . 在△BEF中BE2+EF2=BF2, ∴BE⊥EF,即BE⊥AC'. 如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,求EF的长. 例3 [解] 取BC的中点O,连接OE,OF(图略). ∵E,F分别是AB,CD的中点, ∴OE∥AC,且OE=AC ,OF∥BD,且OF=BD, ∴OE与OF所成的角(或其补角)即为AC与BD所成的角, 而AC,BD所成的角为60°, ∴∠EOF=60°或∠EOF=120°. 当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=. 当∠EOF=120°时,在△EOF中,利用余弦定理,得 EF=. 综上,线段EF的长度为. 1.本题中容易遗漏∠EOF=120°的情形,导致求解不完整. 2.当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该 ... ...
