1.2 复数的几何意义 课标要求 1.理解复数的几何意义. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 【引入】 19世纪末20世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时,首次引进“复数”这个名词,他把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义,从形的角度表明了复数的“存在性”,为进一步研究复数奠定了基础. 一、复平面 探究1 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a,b确定后,复数z唯一确定吗 _____ _____ _____ 【知识梳理】 任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点(a,b)一一对应,所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的. 如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为 ,x轴称为 ,y轴称为 .显然,实轴的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 温馨提示 复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i. 例1 已知复数z=(a2-4)+(2a-3)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时,求a的值(或取值范围). (1)点Z在实轴上; (2)点Z在第二象限; (3)点Z在直线y=-x-4上. _____ _____ _____ 思维升华 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的依据. (2)列出方程:此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)求解. 训练1 已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点: (1)位于第四象限 (2)在实轴负半轴上 (3)位于上半平面(含实轴) _____ _____ _____ 二、复数的几何意义 探究2 设复数z=x+yi(x,y∈R),以z的实部和虚部组成一个有序实数对(x,y),那么复数z与有序实数对(x,y)之间是一个怎样的对应关系 _____ _____ _____ 探究3 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的.我们能不能用平面向量来表示复数 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b). 2.复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量. 温馨提示 (1)复数的实质是有序实数对. (2)根据复数与复平面内的点一一对应,复数与平面向量一一对应,可知复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系如图所示. 例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,求点D对应的复数. _____ _____ _____ 思维升华 根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. 训练2 (1)在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R).若,则a= . (2)复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,则点C对应的复数为 . 三、复数的模 探究4 通过对复数几何意义的学习,我们知道复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)与向量一一对应,向量是有长度(模)的,你能否根据向量的长度(模)定义虚数的长度(模) _____ _____ _____ 【知识梳理】 向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作 .由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|= .如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模|z|==|a|(a的绝对值). 温馨提示 两个虚数不能比较大小,但它们 ... ...
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