第二课时 直线与平面垂直的判定 课标要求 1.掌握直线与平面垂直的判定定理.2.会利用直线与平面垂直判定定理解决问题. 【引入】 木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直. 一、线面垂直的判定定理 探究1 如果一条直线垂直于平面内的一条直线,这条直线和平面具有什么样的位置关系 _____ _____ _____ 探究2 如图,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察并思考:折痕AD与桌面垂直吗 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直 试说明理由. _____ _____ _____ 【知识梳理】 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直 符号 语言 若a α,b α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则 图形 语言 温馨提示———两条相交直线”是定理的关键词,应用定理时不能忽略. 例1 (1)一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不确定 (2)已知a,b是平面α内的两条直线,l是空间中的一条直线,则“直线l⊥a且l⊥b”是l⊥α的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 _____ _____ _____ 思维升华 解决此类问题的关键是: (1)明确直线与平面垂直判定定理成立的条件; (2)借助于常见几何体(如正方体、正四面体)进行分析. 训练1 (1)给出下列条件(其中l为直线,α为平面): ①l垂直于α内的一五边形的两条边; ②l垂直于α内三条不都平行的直线; ③l垂直于α内无数条直线; ④l垂直于α内正六边形的三条边. 其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是 ( ) A.② B.①③ C.②④ D.③ (2)如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是 ( ) A.平行 B.垂直且相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 二、线面垂直判定定理的应用 例2 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1. _____ _____ _____ 思维升华 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直: ①定义法(不常用);②判定定理(最常用),要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线),使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论): ①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β. 训练2 如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. _____ _____ _____ 三、线面垂直性质定理与判定定理的综合应用 例3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与AC,A1D都垂直且相交. 求证:(1)BD1⊥平面AB1C; (2)EF∥BD1. _____ _____ _____ 思维升华 利用判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条相交直线; (2)证已知直线和这两条相交直线垂直; (3)根据判定定理得出结论. 训练3 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E,F分别是AB,PC的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD;(2)EF⊥平面PCD. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.已知△ABC,若直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则l,m的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 2.(多选)下列说法能保证一条直线与一个平面垂直的是 ( ) A.该直线垂直于三角形的两边 B.该直线垂直于梯形的两边 C.该直线垂直于圆的两条直径 D.该直线垂直于正六边形的两条边 3.下列说法正确的有 .(填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线平行; ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直; ③如果一条直线垂直于平面内的两条直 ... ...
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