3.1 等比数列的概念及其通项公式（课件+学案+练习，共6份）北师大版（2019）选择性必修 第二册 第一章

第二课时　等比数列的性质 课标要求　1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 【引入】 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1，3，9，27，81，……我们知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性质呢？ 一、等比中项 探究1 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝.如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝_____，我们称G为a，b的_____. 温馨提示　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个非零实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则等比中项一定有两个，它们互为相反数. 例1 (链接教材P27练习T3)已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　应用等比中项解题的两个注意点： (1)要证明三个数a，G，b(a，G，b均不为零)成等比数列，只需证明G2＝ab. (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1， 则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题会大大减少计算量. 训练1 (1)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为(　　) A. B.4 C.2 D. (2)在和之间添加三个实数，使这五个数成等比数列，则添加的三个数的乘积等于(　　) A.36 B.216 C.－216 D.216或－216 _____ _____ _____ 二、等比数列的性质 探究2 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列的通项公式与学过的哪类函数有关？ _____ _____ _____ _____ 探究3 在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 01 01 {an}的单调性 ____ 常数列 ____ ____ 常数列 ____ 2.如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N＋)，则有_____. 特别地，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则有am·an＝_____. 3.若m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列，则am，an，ap成_____数列. 4.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为_____数列. 5.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是_____数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. 例2 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移1 在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移2 把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分利用项的“下标”之间的关系，分析对应的项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有 ... ...