3.1 不等式的性质 课标要求 1.等式与不等式的性质. 2.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 3.体会不等式的性质在比较大小、放缩法中的作用. 【引入】 现在有一份质量为a克的糖水,其中含有b克糖(a>b>0),则易知糖的质量与糖水质量的比为.若再向其中添加m克糖(m>0),则这个比将变为. 一个显然的生活常识是:在添加的糖完全溶解的情况下,糖水会变甜,于是我们根据这个实际背景,可以提炼出一个不等式: 若a>b>0,m>0,则<,这个不等式我们称为“糖水不等式”,本节课我们就来研究不等式的一些性质. 一、不等关系与不等式 探究1 如图所示的两种广告牌,其中图1是由两个等腰直角三角形构成的,图2是一个矩形,试用直观的方法确定这两个广告牌面积的大小关系,你能将这种关系用含字母a,b的不等式表示出来吗 【知识梳理】 作差法比较两实数(代数式)的大小 依据 如果a-b>0,那么a b, 如果a-b<0,那么a b, 如果a-b=0,那么a b 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系 温馨提示 (1)比较数(式)的大小常用作差法,作差后需对差式进行恒等变形(常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法),直到能明显判断出其正负号为止. (2)对于两个正值,也可采用作商法,比较商与1的大小. 例1 (链接教材P25例1)(1)已知a1
b a+c b+c 可逆 3 可乘性 ac bc c的符号 ac bc 4 同向可加性 a+c b+d 同向 5 可乘性 ac bd ac bd a>b>0 an bn (n∈N+,n≥2) 不等号的方向是否改变 6 可开方性 a>b>0 (n∈N+,n≥2) 同正 温馨提示 (1)在应用性质3时,应特别注意c的符号,当c≠0时,a>b ac2>bc2;若没有c≠0这个条件,则a>b ac2>bc2不成立. (2)在使用不等式的性质时,一定要弄清不等式成立的条件,如性质4中只有同向不等式相加,而没有不等式相减. 例2 (1)若<<0,有下面四个不等式:①|a|>|b|,②ab3,则正确的不等式的个数是 ( ) ... ... 