数列 典型练 2025年高考数学二轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 数列 典型练 2025年高考数学二轮复习备考 一、解答题 1．在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 2．在前项和为的等比数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 3．已知为数列的前项和，若. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，若，求满足条件的最大整数. 4．已知等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 6．在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有_____． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 7．已知数列的各项均不为0，其前项和为，且. (1)若，求； (2)若，求. 8．已知数列是以2为公比的等比数列，且. (1)解不等式：. (2)数列中，定义：使为整数的数叫做期盼数.求区间[1，100]内的所有期盼数的和. 9．已知数列中，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，为数列的前n项和，证明：. 10．已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 11．已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列. (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)求的通项公式，并证明：. 12．对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． (1)求和的值； (2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； (3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 参考答案 1．(1)证明见解析 (2) 1）证明：因为， 所以， 即. 因为，所以， 所以， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 所以. 2．(1) (2) （1）设数列的公比为， 由，得，所以，解得或， 若，则由，得，所以，与矛盾，所以， 若，则由，得，所以，，符合 ，所以，，所以. 故数列的通项公式为： （2）由， 两边乘以2得 ， 两式相减得：， 故数列的前项和. 3．(1)证明见解析 (2) （1）证明：由可得， 当时，，解得， 当时，，即， 则 ，即， 即，即， 又， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即，即， 又，，， 所以满足条件的最大整数为为5. 4．(1) (2) （1）设公比为，因为， 所以，解得，所以的通项公式为. （2）由（1）知， 所以. 5．(1)证明见解析； (2). （1）当时，，即，亦即， 又，即，所以数列是等比数列. （2）由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是. 6．(1)答案见解析 (2)证明见解析 （1）对于条件①，当时，，不符合题意．（如果选条件①，不得分） 如选②：， ，， 则是公差为1的等差数列， 则，则． 当时，， 当时，满足上式． 所以的通项公式为． 如选③：因为，则， 当时，，解得：． 当时，， 即，因为，所以， 则是首项为1，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为． （2）因为， ． 因为，且在时单调减小， 所以，且在时单调增加，并在时取最小值， 所以． 7．(1) (2) （1）令，可得， ∵，∴， ∵， ∴. （2）由题意得，. 当时，， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列， ∴， ... ...