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课件网) 第6章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 复习回顾 平面向量基本定理 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 探索新知 向量的正交分解 探索新知 向量的坐标表示 思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1), C(3,4),D(5,7).设 填空： （1）若用 来表示 ，则： 3 5 4 7 如图， 分别是与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 为基底，则 （2）向量 能否由 表示出来？可以的话，如何表示？ 3 5 4 7 提示: ② 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上 的坐标，②式叫做向量的坐标表示. 这样，平面内的任一向量 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量 的坐标，记作 显然， O x y A 在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ，则点 A的位置由向量 唯一确定. 设 ，则向量 的坐标（x,y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量 的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 典例分析 1.向量正交分解与坐标表示 例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示 、、，并求出它们的坐标． 解析：（1） ＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j， 它们的坐标表示为：＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)． 巩固训练 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标 典例分析 2.向量的坐标应用 例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量， 的坐标． 解析 ：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1，)，∴ ＝(2,0)， ＝(1，) 巩固训练 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°. 求向量的坐标； 解析：设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝，y＝4sin 60°＝， 即A(2，6)，＝(2，6)． 探索新知 向量加、减的坐标表示 思考：已知 ， 你能得出 的坐标吗？ 即 同理可得 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 【思考】已知点A(,),B(,),那么向量的坐标是什么 一般地,一个任意向量的坐标如何计算 [提示] =(-,-),任意一个向量的坐标等于表示该向量的 有向线段的终点坐标减去始点坐标. 典例分析 3.向量加法的坐标表示 例1.设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，则a＋b＝_____。 解析：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)。 巩固训练 若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( ) A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2) 解析：＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：A 典例分析 4.向量减法的坐标表示 例2.已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、、－. 巩固训练 典例分析 5.向量坐标运算的综合应用 例3. 已知点O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及＝－，试求t为何值时： (1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第四象限． 巩固训练 已知在平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是_____． 解析：当ABCD为平行四边形时， 则＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)， 故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)． 探索新知 向量数乘的坐标表示 思考1： 平面向量数乘运算的坐标表示： 已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标． (λx，λy) 思考2：如果向量a＝(x1，y1)，b ... ...
