章末复习提升 一、空间向量的概念及运算 空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等. 例1 (1)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是 ( ) A.()- B.()- C.()+ D.()- (2)(多选)给出下列命题，其中正确的命题为 ( ) A.若，则一定有点O与点E重合，点P与点F重合 B.若<>为钝角，则<0 C.若m为直线m的方向向量，则λm(λ∈R且λ≠0)，也是直线m的方向向量 D.非零向量m，n，t满足m与n，n与t，m与t都是共面向量，则m，n，t必共面 训练1 (1)下列各式正确的是 ( ) A.若a，b同向，则|a|+|b|=|a+b| B.a+b与|a|+|b|表示的意义是相同的 C.若a，b不共线，则|a+b|>|a|+|b| D.|a|<|a+b|恒成立 (2)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，若M是PC的中点，则||= ( ) A. 二、利用空间向量证明线面位置关系 1.空间中线面位置关系有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直. 2.证明的基本思想是利用直线的方向向量与平面的法向量，结合向量的共线和垂直的条件进行证明.将立体几何的线面关系转化为向量间的运算关系. 例2 在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点. (1)求证:BM∥平面PAD; (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD 若存在，确定N的位置;若不存在，说明理由. 训练2 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD. (1)证明:平面PQB⊥平面DCQ; (2)证明:PC∥平面BAQ. 三、利用空间向量求空间角 空间中三种角的计算公式 (1)两条异面直线的夹角为θ:cos θ=|cos|=(其中u，v分别是两异面直线的方向向量). (2)直线与平面的夹角为θ:sin θ=|cos|=(其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量). (3)两个平面的夹角为θ:cos θ=|cos|=(其中n1，n2分别是两平面的法向量). 例3 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. (1)求cos<>; (2)求直线AD与平面ANM的夹角的正弦值; (3)求平面ANM与平面ABCD的夹角的余弦值. 训练3 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB=BC=1，MD=1，MD⊥平面ABCD，H是MB中点，在下面两个条件中任选一个，并作答: ①二面角A-MD-C的平面角的大小是;②∠BAD=. 若 ，求直线CH与平面MCD的夹角的正弦值. 四、利用空间向量求距离 空间中两种距离的计算公式 (1)直线l外一点P到直线l的距离:d=(其中l0是直线l的单位方向向量，A是直线l上一点) (2)平面α外一点P到平面α的距离:|PQ|=(其中A是平面α内的定点，n是平面α的法向量). 例4 如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1， (1)求点C到平面AEC1F的距离; (2)设过点B平行于平面AEC1F的平面为α，求平面AEC1F与平面α之间的距离. 训练4 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2.求点A到平面MBC的距离. 章末复习提升 例1 (1)ABC (2)BC [(1)A.()-， B.()-， C.()+， D.()-=()-.故选ABC. (2)A.在平行四边形OEFP中，有，但是点O与点E不一定重合，点P与点F不一定重合，故A错误; B.因为<>为钝角， 所以cos <><0， 则><0，故B正确; C.因为λm(λ∈R且λ≠0)与m共线，由直线的方向向量的概念可知C正确; D.如图，在三棱柱中，满足m与n，n与t，m与t都是共面向量，但是m，n，t不共面，故D错误.故选BC.] 训练1 (1)A (2)A [(1)A正 ... ...
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