1.3 向量的数乘 课标要求 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 【引入】 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算. 一、向量的实数倍 探究1 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向分别是怎样的？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|. (1)当λ≠0且a≠0时， λa的方向 (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0. 2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向_____. 3.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个_____. 温馨提示 (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意当λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的. 例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的是( ) A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ＝0时，λa的方向具有任意性 C.|λa|＝λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 _____ _____ _____ _____ 思维升华 λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 训练1 已知非零向量a，b满足a＝4b，则( ) A.|a|＝|b| B.4|a|＝|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 二、共线向量与向量的夹角 探究2 若非零向量a，b方向相同或相反，则a与b存在怎样的数量关系？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.共线向量 当非零向量a，b方向_____时，就称a，b共线，也称a，b平行，记作a∥b，并规定_____与所有的向量平行. 2.向量共线定理 a∥b 存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb(a，b为非零向量). 3.向量的夹角 (1)定义：设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角_____ 称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，如图所示. (2)范围：向量a，b夹角的范围是[0，π]. ①当θ＝____时，a，b方向相同； ②当θ＝π时，a，b方向相反； ③当____＜θ＜____时，a与b所在直线相交于点O； ④当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b. (3)零向量：由于零向量的方向可以是任意方向，于是既规定零向量0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直. 温馨提示 (1)相等向量是共线向量，但共线向量未必是相等向量. (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作＝，则∠BAD才是向量与的夹角. 例2 (链接教材P16T3)(1)根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明. ①＝； ②＝； ③＝，且||＝||. (2)已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 1.利用向量共线求几何图形的形状的关键是由＝λ，证得||＝λ||且AB∥CD. 2.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
