1.5.1 数量积的定义及计算（课件+学案+练习，共6份）湘教版（2019）必修第二册 第1章

第二课时　投影和数量积的运算律及应用 课标要求　1.理解投影的概念.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.3.会用数量积的运算律进行计算或证明. 【引入】 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、投影 探究1 如图，一辆小车在拉力F的作用下产生了位移s，由上节知识可知，拉力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos α.|F|cos α对应图中的哪个量？拉力F所做的功还可以如何描述？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.投影向量与投影长 作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线. 我们把_____称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长. 2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的____和____，称为在方向上的投影. 3.数量积的几何意义 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影_____的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积. 例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移 在本例条件不变的情况下，求b在a上的投影. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影等于|a|cos θ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影与b的模无关. 训练1 (链接教材P35T3)在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点. (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、数量积的运算律 探究2 对于实数a，b，c满足如下运算律： (1)ab＝ba；(2)a(b＋c)＝ab＋ac；(3)若ab＝ac，则b＝c，其中a≠0. 向量a，b，c是否具有以上运算律？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)a·(λb)＝λ(a·b)(与数乘的结合律). (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2.平面向量数量积的运算性质 (a＋b)2＝_____； (a－b)2＝_____； (a＋b)·(a－b)＝_____； (a＋b＋c)2＝_____＋2a·b＋2b·c＋2c·a. 温馨提示　(1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 例2 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A.a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　进行数量积运算时，能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 训练2 对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A.a·b≠b·a B.(a－b)·c＝0 a＝b或c＝0 C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.a2＝|a|2 _____ _____ _____ _____ 三、向量的模 例3 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为，求|a＋b|，|a－b|. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，此性质可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2等. 训练3 已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 四、向量的夹角 例4 设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　1.求向量的 ... ...