1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第1章

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 课标要求　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积坐标表示计算两个向量的夹角和模，会利用数量积的坐标运算判断向量垂直. 【引入】 “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”———坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 一、数量积的坐标表示 探究 设e1，e2是相互垂直的单位向量，组成平面的一组基，你能计算出e1·e2，e1·e1，e2·e2的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝_____. 例1 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A.10 B.－10 C.3 D.－3 _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2. 训练1 (1)在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0，0)，B(1，1)，则·＝_____. (2)在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝_____. 二、向量的长度(模) 【知识梳理】 1.若a＝(x，y)，则|a|＝＝. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 例2 已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1). (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，实现实数运算与向量运算的相互转化. 训练2 (1)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　) A. B. C.5 D.25 (2)已知向量a＝(2，m)，b＝(3，6)，若|3a＋b|＝|3a－b|，则实数m的值为(　　) A.1 B.－1 C.4 D.－4 三、向量的夹角及垂直问题 【知识梳理】 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)cos〈a，b〉＝＝. (2)a⊥b a·b＝0 _____. 温馨提示　(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 例3 (1)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). ①(链接教材P39练习T1)求a与b夹角的余弦值； ②若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ (2)已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是_____. 思维升华　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法： 由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0° ≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 训练3 已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1. ... ...