章末复习提升 一、向量的线性运算 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. (2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧. ②字符表示的线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差的技巧，如－＝. 例1 (1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b等于( ) A.(4，0) B.(0，4) C.(4，－8) D.(－4，8) (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，E为线段AD的中点，且BF＝AB，则等于( ) A.＋ B.－ C.＋ D.－ _____ _____ _____ _____ _____ 训练1 若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( ) A. B. C. D. 二、向量的数量积 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b x1y2－x2y1＝0， a⊥b x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设a＝(x1，y1)，则|a|＝. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝＝. 例2 已知O是坐标原点，＝(－1，3)，＝(4，0)，点P满足＋＋＝0. (1)求||； (2)设t∈R，求|＋t|的最小值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 训练2 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( ) A.－ B. C. D. (2)已知平面向量a，b，c满足a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a＋b与b＋c夹角的余弦值为_____. 三、余弦定理、正弦定理 1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解. 例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，A＝. (1)求b的最大值； (2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 训练3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 正、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 例4 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 训练4 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 章末复习提升 例1 (1)C (2)D [(1)因为a∥b， 所以1×4＝－2×m，解得m＝－2， 所以b＝(－2，4)， 所以2a－b＝ ... ...
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