2.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.2.1　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课标要求　1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用. 【引入】 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系. 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 探究1 请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式. _____ _____ _____ _____ _____ 探究2 当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.二倍角的正弦公式 sin 2α＝_____，其中α∈R，简记为S(2α). 2.二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝_____＝_____，其中α∈R，简记为C(2α). 3.二倍角的正切公式 tan 2α＝，简记为T(2α). 温馨提示　(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况. (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z). (4)常见二倍角公式的变形： cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝. 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α. 二、给角求值问题 例1 (链接教材P78例1)求下列各式的值： (1)1－2sin2750°； (2)； (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　对于给角求值问题，一般有两类： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 训练1 (1)－cos2＝_____； (2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝_____. 三、给值求值 例2 (链接教材P79例2)已知cos ＝，0<α<2π，求sin，cos，tan α 的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 训练2 已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝. (1)求的值； (2)求的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 四、三角函数式的化简与证明 例3 (链接教材P79例3)化简与证明： (1)化简：； (2)证明：＝tan4 A. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　三角函数式化简与证明的方法 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. 训练3 (1)α为第三象限角，则－＝_____. (2)求证：＝. _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.＝(　　) A.sin 18° B.cos 18° C.cos 18°－sin 18° D.sin 18°－cos 1 ... ...