2.3.2 和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.3.2　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用 课标要求　1.了解和差化积、积化和差公式推导过程.2.能用和差化积、积化和差的公式解决一些简单的问题.3.掌握三角恒等变换的应用. 【引入】 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式. (1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？ (2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？ 这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧. 一、和差化积 探究1 在公式cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]中，若令γ＝α＋β，θ＝α－β，你发现了什么？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 和差化积公式 (1)cos α＋cos β＝2coscos； (2)sin α＋sin β＝2sincos； (3)cos α－cos β＝－2sinsin； (4)sin α－sin β＝2cossin. 例1 (链接教材P91T4)把下列各式化成积的形式： (1)sin 44°＋sin 76°；(2)cos 50°＋cos 42°； (3)cos 3x－cos 5x；(4)sin 50°－sin 70°. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用和差化积公式化简求值时的两个注意点 (1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式. (2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式. 训练1 将下列各式化成积的形式： (1)sin－sin；(2)sin x＋. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、积化和差 探究2 如果已知cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝，你能求出cos αcos β及sin αsin β的值吗？试写出推导过程. _____ _____ _____ 【知识梳理】 积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 例2 (链接教材P91习题T3)(1)sincos等于(　　) A.－ B.＋ C.－ D.＋ (2)把下列各式化成和或差的形式： ①sin 64° cos 134°；②cos 2cos 1.2. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式. 训练2 求cos 15°cos 60°cos 75°的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、辅助角公式及其应用 探究3 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x± cos x，sin x±cos x，cos x±sin x. _____ _____ _____ 探究4 一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 温馨提示　(1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－θ). 例3 (链接教材P90例6)已知函数f(x)＝sincos－cos2＋cos＋. (1)若x∈(0，π)，求f(x)≥的解集； (2)若α为锐角，且f(α)＝，求tan 2α的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. 2.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 训练3 已知函数f(x)＝cos· cos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.将sin 93°＋sin 27°化为积的形式，下列结论正确的是(　　) A.cos 43° ... ...