专题四 解析几何（解答题13种考向） 考向一 基础题 【例1-1】（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可得，则，即， 又因为点在双曲线上，所以， 解得：，所以双曲线的标准方程为：. （2）因为的周长为12，所以①， 由双曲线的定义可得：， 所以②， 所以由①②可得：， 由（1）知，，所以， 因为直线的斜率不为，所以设， 则联立直线与双曲线可得， 当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以， ， 所以， 所以， 解得：（舍去）或，所以， 直线的方程为：，即. 【例1-2】（2025·海南·三模）已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)若点都在的左支上，且以为直径的圆与轴相切，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为当轴时，，所以点在曲线C上， 所以，又的焦距为，所以， 所以，解得（负根舍去），所以， 所以的方程为； （2）由题知，直线l的斜率一定存在， 设直线的方程为，， 联立，消并整理得， 因为直线与的左支交于两点，所以， 解得，所以， 且， 因为以为直径的圆与轴相切，所以， 所以，所以，结合，所以， 解得，即的斜率为. 【例1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 【答案】(1) (2)①；②或. 【解析】（1）由已知得. 因为，所以， 解得，，故椭圆的方程为. （2）①将代入，得， 则，解得或， 故的取值范围为. ②设，，由（1）可知，. 因为 ，所以. 又， 所以，所以或. 易知直线与轴交于点， 所以. 当时，；当时，. 故的面积为或. 【例1-4】（2025·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的值. 【答案】(1) (2)1 【解析】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设直线的方程为，点. 由得 所以题意，即. . 直线与轴交于点，所以.点 直线的方程为， 令，得，① 又因为， 带入①式 所以. 考向二 定点 【例2-1】（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点为. 【解析】（1）由点在椭圆上，得，由椭圆的焦距为，得， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设,，代入椭圆方程得，由题知， 当时，设,、,，显然， 由，得，即， 由为线段的中点，得，直线的斜率， 由，得直线的方程为，即， 因此直线过定点，当时，直线，此时为轴亦过点， 所以直线恒过定点. 【例2-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）双曲线的一条渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直， 所以双曲线的一条渐近线方程为，即， 则， ，由对称性可知，到的一条渐近线的距离为， 所以，解得， 所以， 故的标准方程为. （2）证明：由（1）可知，， ①当直线的斜率存在时，设方程为，， 由，整理得， 则， 得， 由得，，即， 由，则， 所以， 则 即， 所以， 整理得， 所以， 解得或， 若时，直 ... ...
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