专题一 数列（解答题11种考向） 考向一 等差数列和等比数列 【例1-1】（2025·河南·模拟预测）已知项数为的数列满足：且． (1)若为等比数列，求的值； (2)若是等差数列，求公差的值． 【例1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【例1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）记为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和，并比较与的大小. 【例1-4】（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 考向二 数列中求通项、求和的方法 【例2-1】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【例2-2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【例2-3】（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 【例2-4】（2024·广东）在数列中，已知，，记． (1)证明：数列为等比数列； (2)记_____，数列的前n项和为，求． 在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考向三 数列与三角函数的综合 【例3-1】（2024海南）已知函数的最小正周期为6． (1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值； (2)若，求数列的前2022项和． 【例3-2】（2025云南）已知函数， (1)求的解析式，并求其单调递增区间； (2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和． 【例3-3】（2024宁夏）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 考向四 数列与统计概率综合 【例4-1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. (1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； (2)求第n轮为甲练习的概率. 【例4-2】（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. （提示：请结合数列的递推关系求解） 【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题： (1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率. (2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值. 【例4-4】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川 ... ...
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