专题三 空间几何（解答题10种考向）-2025年高考数学二轮复习《专题突破》（新高考专用）

专题三 空间几何（解答题10种考向） 考向一 平行 【例1-1】（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 【例1-2】（24-25新疆乌鲁木齐）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【例1-3】（2025·四川·模拟预测）如图，在三棱台中，，，点，分别为，的中点，平面，． (1)若平面平面，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【例1-4】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. (1)证明：平面 (2)若，，求二面角的正弦值. 【例1-5】（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【例1-6】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体中，平面，平面． (1)求证：； (2)若，，，求二面角的大小． 【例1-7】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 考向二 垂直 【例2-1】（24-25 河南漯河·期末）如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． (1)证明：面； (2)求二面角的大小． 【例2-2】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面，，平面平面，，四棱锥的体积为4. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【例2-3】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点. (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【例2-4 】（2025·广东惠州·三模）如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与面所成角的余弦值. 【例2-5】（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 考向三 空间距离 【例3-1】（24-25高三下·天津·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【例3-2】（24-25高三上·天津·期末）如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【例3-3】（24-25高三下·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. (1)求证: 平面; (2)求平面与平所成夹角的余弦值； (3)求点 A 到平面的距离. 考向四 动点问题 【例4-1】（24-25 广东茂名·期末）如图所示，在五面体中，已知平面平面，底面是平行四边形，是正三角形，. (1)证明：平面； (2)证明：四边形为矩形； (3)若点是棱上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【例4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． (1)若，证明：平面； (2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，在平行四边形EBCD中，，垂足为，，将沿折到的位置，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)证明：； (3)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 考向五 折叠问题 【例5-1】（2025· ... ...